第19章解直角三角形19、1 测量教学目标使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。

教学过程一、引入新课测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。

当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢?二、新课1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图)课上阐述测量旗杆的方法。

第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。

(如图所示)由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ACB∽△A1C1 B1，因此，BCAC＝B1C1A1C1，则BC＝AC×B1C1A1C1，即可求得旗杆BC的高度。

如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l的长度,便可以计算旗杆的实际高度。

由画图可知:∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ABC＝∠A1B1C l＝90°∴△ABC∽△A l B1C l∴B l C1＝1 500∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。

2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。

(指导学生使用测角仪测出角度)三、小结本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。

四、作业1．课本第99页习题19．1。

2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。

19、2 勾股定理第一课时勾股定理（一）教学目标用试验的方法使学生知道直角三角形的边与边的关系（勾股定理）增强学生对勾股定理的感性认识，并能用勾股定理解决一些简单的问题，渗透探索问题的思想与方法。

教学过程一、复习直角三角形是特殊的三角形，其中一个角是直角，两个锐角具有互余的关系。

那么，直角三角形的三边具有什么关系呢?本节课就是要研究直角三角形三边的关系。

二、新课1．等腰直角三角形边与边的关系。

如图，是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中的三个阴影的小正方形P、Q、R，它们的面积具有什么关系呢?显然可以看出：S阴R＝S阴P＋S阴Q即AB2＝BC2＋AC2，这说明，等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

那么，在一般的直角三角形中，是否也有两直角边的平方和等于斜边的平方呢?2．任意直角三角形三边的关系。

探索l，发给每位同学印有右图的纸片，让学生观察图形，而后回答以下问题。

如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝＿＿＿＿平方厘米；正方形Q的面积＝＿＿＿＿平方厘米；正方形R的面积＝＿＿＿＿平方厘米；(这里正方形只的面积相当难算，教师要给予点拨，要多花时间让学生思考才能得出。

)通过以上练习，同学们可以发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是＿＿＿。

探索2．在方格中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm和12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。

由上述的练习我们可以得出直角三角形ABC的三边的长度之间的关系：AB2＝BC2＋AC2。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

3．勾股定理的简单应用。

例1．如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。

(精确到0.01米)例2．已知：直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝17。

求AB4．练习：课本第102页的练习题。

三、小结这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上，勾股定理在我国古代早已被发现和运用，今天我们只不过做了粗略的探讨。

通过本节课的学习，同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面要能运用它来计算直角三角形边的长度。

四、作业1．课本第104页习题19．2的第1、2小题。

2．课本第119页复习题的第1题。

第二课时勾股定理教学目标上节课学生感性认识了勾股定理，本节课通过给出一些证明勾股定理的方法，学生理性认识勾股定理，同时渗透方程思想，寓德于教，进一步运用勾股定理解决问题。

教学过程一、对勾股定理的回顾如图，△ABC是Rt△，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，那么a、b、c具有什么关系呢?(a2＋b2＝c2)，勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么，同学们是否能够想出证明这个定理的方法呢?1勾股定理的证明思路与方法。

发给每位同学与右图完全相同的四个直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。

问：大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，又可以表示为＿＿＿＿。

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。

提问后再给出提示。

一方面，大正方形的面积可表示为；(a＋b)2;另一方面又可表示为：12a b×4＋c2＝2ab＋c2,所以(a＋b)2＝2ab＋c2即a2＋b2＝c2用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成右图所示的图形。

与上面的方法类似，也可以证明勾股定理是正确的。

(请同学们模仿上面的证明方法，就右图给出勾股定理的证明)一方面，大正方形的面积为c2，另一方面，大正方形的面积为(a－b)2＋4×12ab，所以，a2＋b2＝c2。

2．进一步应用勾股定理解决问题。

例1．如图，为了求出湖两岸A、B的两点之间的距离，一个观测者在点设桩，使三角形恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米。

问从A点穿过湖到点B多远?练习：课本第104页第1、2题。

3．勾股定理史话，增强学生的民族自豪感。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。

上面的图四称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。

在北京召开的国际数学家大会(TCM－)的会标，其图案正是“弦图”，它标致着中国古代的数学成就。

勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史。

远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了，我国古代也发现了这个定理。

据《周髀算经》记载，商高(公元前1120年)关于勾股定理已有明确的认识。

人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁先发现的。

国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派(公元前580一前500)首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理。

三、小结本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两种方法证明了这个定理，同学们；在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果；不是直角三角形应该构造直角三角形来解决。

四、作业课本第104页第1、2、3、4、5题。

19、3 锐角三角函数1．锐角三角函数第一课时锐角三角函数(一)教学目标使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。

并能应用这些概念解决一些实际问题。

教学过程一、复习由上节课例题若加改变得，若AC＝160cm，∠C＝31°，那么，AB的长度为多少呢?同学们现在或许不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。

二、新课1．明确直角三角形边角关系的名称。

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示。

如右图，在Rt△EFG中，请同学们分别写出∠E、∠F的对边和邻边。

2．在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。

问题1如右图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°，∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗?与相等吗? BCAB和B1C1A1B1相等吗？显然△ABC∽△A1B l C l，BCAB＝B1C1A1B1，这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。

3．锐角三角函数的概念。

Rt△ABC中(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边同学们想一想，在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值。

问题2．锐角三角函数都是正实数吗?为什么?若∠A是锐角，0＜sinA＜l，0＜cosA＜l，tanAcotA＝1，为什么?4．例题讲解。

例1．求出右图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值。

例2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a:b＝3:2，c＝13，求∠A、∠B的四个三角函数值。

三、练习课本第109页练习的第1、2两题。

四、小结在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。

五、作业课本第11l页习题19．3的第1、2题，课本第120页复习题的第8题。

第二课时 锐角三角函数(二)教学目标使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°、45°、60°等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。

教学过程一、引入新课如图，这是一块三角形草皮，∠A ＝60°，AB ＝2米，AC ＝1.8米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢?让同学们思考并加以引导，过C 点作AB 的垂线CD ，垂足为D ，我们知道，CD AC ＝sinA ，CD ＝ACsin60°，AC 是已知的，假如sin60°能够知道，那么CD 就可求，那么这个问题就得到解决。