所以 X 的分布律为
X pk
3
0 .1
4
0 .3
5
0 .6
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：F x P { X x } 当 x 时 0,
F x 0 ;
1, 当 x 时
F A B 0 1 1 2 A B 2 A F B 1 2
1 1 所以 F r c t a n x x a 2

例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x )
X
pk
0 1 3
1
2
1 2
1 6
F ( x ) P { X x } 解:
F x 1
当0 时 , x 1
F ( x ) P { X x } P { 0 X x } kx
特别,令 x 1, P k 1 { 0 X 1 } k 1 1
, x0 0 F (x ) ＝ P { X x } ＝ , 0x1 x 1 x1 ,
F ( x ) F ( x ) P { X x } 2 1 1
同理，还可以写出 P P { x X x } { x X x }, 1 2 1 2
二、分布函数的性质
，则 F ⑴ 单调不减性： ( x ) F ( x ) 若 x 1 2 1 < x2
F ( x ) 1，且 F ( ) l i m F () x 0 , ⑵ 0
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x } p , k 1 , 2 , 3 , k k
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为 P {X xk } F x P { Xx } p k
x x k

xk x
0 , x 0 1 / 3 , 0 x 1 F(x) 1 /2 , 1 x 2 1 , x 2
0 , x 0 1 / 3 , 0 x 1 所以，F(x) 1 /2 , 1 x 2 1 , x 2 1 1 1 eg: P {X } F ( ) 2 3 2 1 3 3 1 1 1 1 P { X }F ( ) F ( ) 2 2 2 2 2 3 6 2 F ( 3 ) F ( 1 ) P { X 1 } P { 1 X 3 } 3
1
2
离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；
P { X x } F ( x )( F x 0 ) k k k
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
F x
0 1 1 0 2 5 1
x 3
3 x 4 4 x 5
x 5
求 X 的分布律。 解 X 的可能取值为 3，4，5。
F ( x)
1
x
F(x)
x
f ( t ) dt
0
1
1 ,0t 1 其 中 f (t) ,其 它 0
第五、六节 连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量的定义 二、常用的连续型随机变量
第二章
一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f ，使对任意实数 x 有 x x ,




F (x ) f ( t) dt ,

x
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x ) 为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
对于连续型随机变量的 分布函数 F ( x ) 必是连续 .
f( x ) 可积 F ( x ) 连续2.⑵Fra bibliotek概率密度的性质
⑴ 非负性
f (x) 0
1 P F30 X3 F3 1 0
F x
0 1 1 0 2 5 1
x 3
3 x 4
4 x 5
x 5
2 1 3 4 F 4 0 P X4 F 51 01 0
2 3 P X 5 F 1 5 F 4 5 5
( x ) 0 Xx } F 当 x 0时, {
1 1时, F ( x ) P { X x } 当 0x P { X0 } 3 x2 当1 时, 1 1 1 { X 0 } P { X 1 } F(x) P 2 3 6 当 x2时 P { X 1 } P { X 2 } 1 { X 0 } F(x) P
, x] 上的概率. 表示 X 落在 (
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。 (1) P { x X x } P { X x } P { X x } 1 2 2 1
F ( x ) F ( x ) 2 1
(2) P { x X x } P { X x } P { x X x } 1 2 1 1 2
x
F ( ) l i m F () x 1 ;
x
⑶ 右连续性：F ( x 0 ) l i m F ( t ) F ( x ) .
t x
上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数 的充要条件。
例1 已知 F x A arctan x B ，求 A、 B。 解
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
第02章
二、分布函数的性质
三、离散型分布函数的求法
一、分布函数的概念
定义1 设 X 是一个随机变量，x是任意实数，则称函数
x ) F ( x ) P { X x } (
为X 的分布函数。
x 分布函数 Fx 的函数值的含义：