兰州交通大学数学建模大作业学院：机电工程学院班级：车辆093学号：********* 姓名：刘键学号：********* 姓名：杨海斌学号：********* 姓名：彭福泰学号：********* 姓名：程二永学号：********* 姓名：屈辉高速公路问题1 实验案例 (2)1.1 高速公路问题(简化) (2)1.1.1 问题分析 (3)1.1.2 变量说明 (3)1.1.3 模型假设 (3)1.1.4 模型建立 (3)1.1.5 模型求解 (4)1.1.6 求解模型的程序 (4)1实验案例1.1 高速公路问题(简化)A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。

公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。

你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。

图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。

而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？AB图8.2 高速公路修建地段1.1.1 问题分析在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。

如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。

因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。

1.1.2 变量说明i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标）x=[x 1，x 2，x 3，x 4]Tl i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5)S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5)由问题分析可知， ()()()()25425524324423223322122221211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+=C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里）C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3 模型假设1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。

在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。

1.1.4 模型建立在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。

优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。

()4,3,2,1300..)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i1.1.5模型求解这里采用Matlab编程求解。

模型求解时，分别取C i(i=1,2,3)如下。

平原每公里的造价C1＝400万元/公里；高地每公里的造价C2＝800万元/公里；高山每公里的造价C3＝1200万元/公里。

输入主程序model_p97.m，运行结果如下：model_p97optans =2.2584e+004len =38.9350ans =12.1731 14.3323 15.6677 17.8269求解程序见附录。

注：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）6.模型结果及分析通过求解可知，为了使得建造费用最小。

建造地点的选择宜采取下列结果。

x1=12.1731，x2=14.3233，x3=15.6677，x4=17.8269建造总费用为2.2584亿元。

总长度为38.9350公里1.1.6求解模型的程序（1）求解主程序model_p97function x=model_p97 %数学建模教材 P97 高速公路clear allglobal C LC=[400 800 1200];L=[4 4 4 4 4];x=fmincon('objfun_97',[1,1,1,1],[],[],[],[],zeros(1,4),ones(1,4)* 30,'mycon_p97');optans=objfun_97(x)C=ones(3,1);len = objfun_97(x)（2）模型中描述目标函数的Matlab程序objfun_97.mfunction obj=objfun_97(x)global C Lobj=C(1)*sqrt(L(1)^2+x(1)^2) + C(2)*sqrt(L(2)^2+(x(2)-x(1))^2) + ... C(3)*sqrt(L(3)^2+(x(3)-x(2))^2)C(2)*sqrt(L(4)^2+(x(4)-x(3))^2)+C(1)*sqrt(L(5)^2+(...30-x(4))^2); （3）模型中描述约束条件的Matlab函数mycon_p97.mfunction [c,ceq]=mycon_p97(x)c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=[];综合实验：施肥效果分析【问题提出】施肥效果分析（1992年全国大学生数学模型联赛题A）某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。

某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。

当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。

试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。

土豆：N P K生菜：N P K数据拟合方法[1]在数学建模问题中常常有着重要的应用。

根据实验数据来求出实际问题中变量之间的经验公式[1～2],然后再根据经验公式来讨论模型的最优解,是许多数学建模问题中的一种重要方法。

下面就利用这种方法来讨论一个数学建模问题[3～4]。

某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。

某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据可参见文献[3],其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示公斤。

当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。

我们来分析施肥量与产量之间的关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。

首先,将题中的数据用MA TLAB软件[5]作出图形:从图上可看出,N、P、K的取值范围不一样,可以将它们的取值范围转化成区间[0,1],这样它们的变化范围就都一样了。

转化后的数据图形如下:1模型的建立及求解要分析施肥量与产量之间的关系,首先要建立施肥量与产量之间的函数关系。

可以用数据拟合的方法来建立这种函数关系。

这又需要确定拟合的函数的形式,即所谓经验公式。

施肥量与产量之间的函数可以是每一种肥料的施用量与产量的关系,也可以是三种肥料共同的施用量与产量的关系。

按一般常识,N、P、K是作物生长的三种基本肥料要素,它们用量的多少将直接影响农作物的产量。

这种对作物产量的“影响”通常是这三种肥料的共同影响,而不应是单一某一种肥料对作物产量的“影响”。

但每一种肥料的用量对于不同的作物产量的影响效果又有不同。

例如,N肥的施用量对有些农作物产量的影响是:当N肥施用量较少时,随着N肥用量的增加,农作物的产量会增加,到一定用量后产量达到最大,然后,当N肥用量继续增加时,农作物的产量反而会降低。

这从上面的土豆和生菜产量与N肥用量的数据图上也可以看到这样的规律。

而在一定的范围内,P肥和K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增加而一直增加,只是当P肥和K肥的用量较少时,随着其用量的增加,农作物产量增加较快,而当P肥和K肥的用量较多时,随着其用量的增加,农作物产量增加不大。

从上面的土豆和生菜产量与P肥或K肥用量的数据图上可以看到这样的规律。

具有这种特点的函数关系在数学上用二次多项式就能较好地反映出来。

当然也可以考虑用分段函数来描述。

为简单起见,下面在拟合这些函数时都用二次多项式。

在实验数据中,K肥料施用量与生菜产量的实验数据波动性较大,这种产量与肥料的施用量的关系在农作物中是很少出现的现象。

如果从数据图形的整体来看,其实K肥料施用量与生菜产量的实验数据的特点还是与上面所说的情况相似的,其波动性可看作是实验误差。

要利用实验数据来拟合出这些函数关系,显然,如果实验数据越多、数据分布越合理,则拟合的效果就越好。

这样拟合出来的函数,其所反映出来的规律就越符合实际情况。

例如,应当给出充分多的数据,且这些数据应当是在N、P、K三种肥料的不同用量下的产量数据。

又比如,应该有这样的数据:当N、P、K三种肥料中某两种肥料限制在不同的固定值时,相应地,第三种肥料取不同值时的产量数据,这样才有可能反映出N、P、K 三种肥料在对农作物产量的共同影响时的相互影响的规律。

但事实上,这里所给出的实验数据非常有限,而且很不均匀,所以用现有的数据来拟合N、P、K的施用量与产量之间的函数关系,并根据这些函数的性质所推断出的施肥量与产量之间的关系,其可信性是有限的。

另外,拟合每一种肥料的施用量与产量的函数时,其余两种肥料的用量都是限制在一个数值上的,其结果通常也只能得到,当相应的另两肥料的用量在所限制的数值下的情况。

虽然我们得到的结果可能有一定的局限性,但这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法,从建立模型的角度来说,还是值得讨论的。

如果要想得到更精确的结果,只需要有更多的产量施肥量实验数据,再用本文中给出的模型讨论即可。

用这些函数来讨论施肥效果产量与施肥量的函数关系,有两种方式,一种是对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数,这需要拟合三个函数,每个函数都是一元函数,这种做法可以使拟合的效果较好。

另一种是考虑三种肥料共同对产量的影响,这只需要拟合出一个函数,这是一个三元函数,且由于数据量偏少且不均匀等的原因,拟合效果要差一些,但这是讨论肥料施用量与产量的全局最优解所必须的。

下面分别来讨论。

1.1模型1对三种肥料的用量与土豆和生菜产量分别拟合相应的函数讨论一种肥料的用量与产量的关系时,其它两种肥料的用量都固定在第7种水平,三种肥料的用量分别是:土豆n07=0.5499,p07=k07=0.5714;生菜n17=0.57149,p17=0.5708,k17=0.5714。

先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系,我们利用所给数据来拟合这些函数关系。