高考数学复习数列的求和数列求和的常用方法8.261. 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+， 222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=.例1、已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21练一练：等比数列{}na 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++ ＝_____ ；2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aaa n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(nn n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---练一练：求和：1357(1)(21)nnS n =-+-+-+--3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.例3、求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5练一练：已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______；4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 例4、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+例5、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n nn S2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S练一练：1设{}na 为等比数列，121(1)2nn nT na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，（1）求数列{}na 的首项和公比； （2）求数列{}nT 的通项公式.；2求数列}21{n n ⨯前n 项和 解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ①12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k kn n k=-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k kk k k k-=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++； ⑥2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +=<<=-+++-.例6、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设nn n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n例7、在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n an，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.解：∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n练一练：（1）求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ ； （2）在数列{}na 中，11++=n n an，且S ｎ＝９，则n ＝_____ ；（3）求数列 ,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 ——关键是处理好通项（裂项）.设数列的通项为b n ，则)111(6)1(+-=+6=n n n n b n（4）求数列111,,,,123234(1)(2)n n n ⋅⋅⋅⋅++前n 项和解：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++1111111[()()()]212232334(1)(1)(2)111(3)[]22(1)(2)4(1)(2)n S n n n n n n n n n n ∴=-+-++-⋅⋅⋅⋅++++=-=++++6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

例8、求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k 个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅ ＝)91010(8111n n --+练一练：①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ⨯+，…前n 项和nS = ；②求和：111112123123n ++++=+++++++ ；数列求和作业1求：S n=1+5x+9x2+······+(4n-3)x n-12、求11111...3153563(21)(21)n n +++++-+之和。

3求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

4求数列1，3＋13，32＋132， (3)＋13n的各项的和5已知数列{}na 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 1116设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和7已知1,0≠>a a ，数列{}na 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和nS8已知数列{}na 的前n 项和nS 与na 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a，求数列{}n a 的前n 项和nS数列求和作业答案1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n)1-x +1-（4n-3）x n ]2解：11111...3153563(21)(21)11111...13355779(21)(21)11111111111111(1)()()()...()23235257279221211111111111(1)()()()...()23355779212111(1)221n n n n n n n n n n +++++-+=+++++⨯⨯⨯⨯-+=-+-+-+-++--+⎡⎤=-+-+-+-++-⎢⎥-+⎣⎦=-=+21n +3解：n n n n n n n n S 211)1(21)21212121()321()21(81341221132-++=+•••+++++•••+++=++•••+++=4解：其和为： (1＋3＋ (3))＋(13132+＋ (13))=3121321n n+--+-=12(3n ＋1-3-n )5解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-ni i ia a d 11)11(1则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n aa d点评：已知数列{}na 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和1111nni i i i i i a a a a +==+-=+也可用裂项求和法6解：①若a=0时，S n =0②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=)1n (n 21- ③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），S n =]na a )1n (1[)a 1(a 1n n 2+++--7解：,lg n n n n a a b n a a==⋅232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++……①……②①-②得：ana a a a Sa n n nlg )()1(12+-+++=-[]n n a na n a aa S )1(1)1(lg 2-+--=∴点评：设数列{}na 的等比数列，数列{}nb 是等差数列，则数列{}nn b a的前n 项和nS 求解，均可用错位相减法8解：由题意：21(),2nn n Sa S =-1n n n a S S -=-∴211111()()()22nn n n n n n n SS S S S S S S ---=--⇒-=1111112(1)2211.21n n n n n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=-点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}na 的前n 项和nS 的递推公式，是一种最佳解法。