2 E 20 &×H &∗ = z ˆ S 2av = Re E 2 2 2η 0
[
]
⎡1 & & &∗ &∗ S av = Re ⎢ E 1 + E2 × H1 + H 2 ⎣2
(
)(
ˆE e )⎤⎥⎦ = Re⎡⎢⎢ 1 (x 2
10
− jk1 z
⎣
⎛ E10 jk1 z E20 jk 2 z ⎞⎤ ˆE20 e − jk 2 z × ⎜ ˆ ˆ +y y e − x e ⎟ ⎜ η ⎟⎥ η0 ⎥ 0 ⎝ ⎠⎦
∫
T
0
E ˆ 0 S (t )dt = z 2η 0
2
5.6 / 5.2-2 对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。 [解] 无源区限定形式麦氏方程为
&= − jωµH & ∇× E
& = jωε E & ∇× H
(1) (2) (3) (4)
( ) &) = 0 ∇ ⋅ (µH
第 5 章 时变电磁场和平面电磁波
5.1 / 5.1-1 [解] 已知 z2=1+j，求复数 z 的两个解。
jπ
4
z 2 = 1 + j = 2e z1 = 4 2e
jπ 8
= 1.189e j 22.5 = 1.099 + j 0.455
ο
ο
z 2 = −1.189e j 22.5 = −1.099 − j 0.455
[
]
2
式中
ωµ 0 ωµ 0 = = k ω µ 0ε 0
2
µ0 = η0 ε0
2
(b)
E E ˆ× y ˆ 0 sin 2 (ω t − kz ) = z ˆ 0 [1 − cos 2(ω t − kz )] S (t ) = E (t ) × H (t ) = x η0 2η 0 S
av
1 = T
)
2 2 ⎡ E10 2 E ⎤ E 2 + E20 ˆ ˆ 20 ⎥ = z ˆ 10 = Re ⎢ z +z = S1av + S 2av 2η 0 ⎦ 2η 0 ⎣ 2η 0
&，外 5.8 / 5.3-2 同轴线内导体半径为 a，外导体内半径为 b，某截面处内外导体间电压的复振幅为 U
& 导体上电流的复振幅为 I 。试用复坡印廷矢量计算内、外导体间向负载传输的总功率。
= 1 [eh + e i hi + (eh − ei hi ) cos 2ω t − (eh i + ei h )sin 2ω t ] 2
[
]
可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加. 5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：
ˆE0 sin (ω t − kz ) + y ˆ 3E0 cos(ω t − kz ) ； (a) E (t ) = x ˆ ⎢ E 0 sin ω t + 3E 0 cos⎜ ω t + (b) E (t ) = x ⎣ ˆ + jy ˆ )e (c) H = ( x ˆjH 0 e (d) H = − y & &
试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。 [证 1]
S
av 1
2 E10 ˆ =z ， 2η 0
S
av 2
2 E 20 ˆ =z 2η 0
故
S
av
ˆ =z
2 2 E10 + E 20 = S1av + S 2av 2η 0
3
&= x ˆE10 e − jk1 z ， [证 2] E 1 &= y ˆE20 e − jk 2 z ， E 2
[
]
[
]
[
]
E (t ) = Re (e + je i )e jωt = Re [(e + je i )(cos ω t + j sin ω t )] = e cos ω t − e i sin ω t
1
[
]
H (t ) = Re (h + jh i )e j ω t = h cos ω t − h i sin ω t E (t )H (t ) = eh cos 2 ω t + e i hi sin 2 ω t − eh i cos ω t sin ω t − e i h cos ω t sin ω t
请写出其复矢量 E e 和 H e ， 求坡印廷矢量瞬时值 S (t ) = Ee (t ) × H e (t ) ， 并证明其一周平均值 为S [解]
αv
Hale Waihona Puke ()()
&
&
ˆEe H e 。 =z
ο &=x ˆ 2 E e e j 30 E e
ο & =y ˆ 2 H e e j 30 H e
ˆ 2 E e H e cos 2 (ω t + 30 ο ) = z ˆ E e H e + E e H e cos (2ω t + 60 ο ) S (t ) = E e (t ) × H e (t ) = z
[
]
S av =
1 T
1 ˆ ∫ [E H ∫ S (t )dt = z T
T T
0 0
e
e
ˆE e H e , 得证. + E e H e cos 2ω t + 60 ο dt = z
(
)]
5.11 / 5.3-5
设时谐电磁场瞬时值为
& & E (t ) = Im E e jωt , H (t ) = Im H e jωt
= ± (1 + j )
&= e + je ， H （ t ） 的 复 振 幅 为 H &= h + jh ， 试 证 5.3 / 5.1-3 设 E （ t ） 的 复 振 幅 为 E i i & & E (t )H (t ) ≠ Re E H e jωt ，并求 E（t） 、H（t） 。
[解]
[
E &= 1 z &= y ˆ 10 e − jk1z ˆ×E H 1 1 η0 η0 E & = 1 z & = −x ˆ 20 e − jk 2 z ˆ×E H 2 2 η0 η0
S
av 1
2 ⎡ E10 2 ⎤ E10 ⎡ 1 & &∗ ⎤ ˆ ˆ = Re ⎢ E1 × H 1 ⎥ = Re ⎢ z ， ⎥=z 2η 0 ⎣2 ⎦ ⎢ ⎣ 2η 0 ⎥ ⎦
利用(2)(3)后,
再利用(1)式代入, 得
&+ ω 2 µεE &+ ∇⎛ E & ∇ε ∇2E ⎜ ⋅ ε ⎝
⎞ ∇µ &= 0 ×∇× E ⎟+ ⎠ µ
&= x &= y ˆE10e − jk1 z ， E ˆ E20e − jk 2 z ， 5.7 / 5.3-1 设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为 E 1 2
1 = T
S (t ) = 0 E ˆ 0 sin 2ω t S (t ) = − z 4η 0 S (t ) = 0
2
S
av
∫
T
0
ˆ S (t ) ⋅dt = − z
E0 1 T 4πt sin 2kz ⋅ ∫ sin dt = 0 0 4η 0 T T
2
或
⎡ j ⎤ ⎡ 1 & &∗ ⎤ 2 ˆ S av = Re ⎢ E × H ⎥ = Re ⎢ z E0 sin 2kz ⎥ = 0 ⎣2 ⎦ ⎣ 4η 0 ⎦ ˆj ˆ× y =z
]
得
1 & jω t & & E (t ) = Re E e jωt = (E e + E ∗ e − jω t ) 2 1 & jωt &∗ e − jω t ) H (t ) = (H e +H 2 1 &&∗ & ∗ & &+ E & & & E (t )H (t ) = (E H + E∗H H e j 2ω t + E H ∗ e − j 2ω t ) 4 1 & &∗ + E & & & & = Re E H H e j 2ωt ≠ Re E H e jωt 2
− jkz
⎡
⎛ ⎝
π ⎞⎤ ⎟ ； 6 ⎠⎥ ⎦
； 。
− jkz sin θ
& ˆ E e − jkz e − j 2 + y ˆ 3 E 0 e − jkz = (− j x ˆ+ y ˆ 3 )E 0 e − jkz [解] (a) E = x 0
π π ⎡ j ⎤ ⎡ −j ⎛ 3 ⎛3 3 1 ⎞⎤ 1⎞ &= x ⎟⎥ = x ⎟ ˆ ⎢ E 0 e 2 + 3E 0 e 6 ⎥ = x ˆE 0 ⎢ − j + 3⎜ ˆE 0 ⎜ E + j + j ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆE0 sin kz cos ω t 。 E (t ) = x
(a) 求磁场强度 H (t ) ； (b) 求在 z=0，π/4k 和π/2k 处的坡印廷矢量瞬时值及平均值； (c) 求导体表面的面电流密度。 [解] (a) H (t ) = Re H e
&