结论：空间中一旦建立静电荷分布，则空间中立即建立起静电场分布；反过 来，如果在静电场中我们将静电荷撤走，空间中的静电场也将立刻消失
2、时变的电荷和时变的电流源
E (r , t ) 1 4 0

(r ' , t )(r r ' )d '
| r r ' |3



5.4
一、H 的边界条件
时变电磁场的边界条件
n
H 1t
将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭 合回路，并考虑高阶小量 h 。
1
μ 2
S
l
H1
h
H dl J dS
c S
D dS t S
H 2t
H2
Js
与恒定磁场相比较
H d l J dS
c S
1、静态场的场与源的时间特性
静电场和恒定磁场对源的即时性和独立性 静电场： 恒定磁场：
E 1 4 0

(r ' )(r r ' )d '
| r r ' |3



B 0 4
J (r ' ) (r r ' ) ' d ' 3 | r r | l
E ex Em cos t
Jd D e x 0 r Em sin t t
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
J cm Em 4Em
故
J dm 1.125 103 J cm
作业：习题5.3 ，习题5.4 ，习题5.5
5.3
三、例题 例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为 求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均 坡印廷矢量
◇麦克斯韦第一方程： 安培环路定律，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。 ◇麦克斯韦第二方程 ：电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场。
◇ 麦克斯韦第三方程 ：磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。 ◇ 麦克斯韦第四方程 ：高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。 ◇ 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 ◇ 电流连续性方程可由麦氏方程导出。
s
则
J dS
式中
S
dq D dS J d dS dt t S S
Jd
D t
位移电流密度
设想S2上有位移电流流过，并考虑S2 的面元方向，得

S1
J dS J d dS （对上述两个不同的面S1和S2，得到相同的积分结果）
s2
一般情况下，空间可能同时存在真实电流和位移电流，则安培环路定律为
由斯托克斯定理
E dl E dS
故
c S
B E dS 0 t S
上式对任意回路所围面积都成立，故被积函数为零
E B t
上式是法拉第电磁感应定律的微分形式
5.2
位移电流
◇ 恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾。 作闭合曲线 c 与导线交链，根据安培环路定律 经过S1 面
二、E 的边界条件
当 h 0 该积分为零 因此，时变场中H 的边界条件与恒定磁场时的 形式相同，即
同样的分析可得时变场中E的边 界条件与静电场时的形式相同， 即 n E1 E2 0
分界面上电场强度 的切向分量连续
n H1 H2 = Js
三、B 的边界条件
四、D 的边界条件
◇当穿过导体的磁通发生变化时，回路中会产生感应电流，这表明回路中感应了 电动势。这就是法拉第电磁感应定律。
in
d dt
◇负号表示感应电流产生的磁场
总是阻碍原磁场的变化。 ◇电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现感应电 动势，表明导体内出现感应电场
in Ein dl
（2）导体表面电流存在于两导体相向的面
Js
z 0
n H ez H ey
z 0
Js
z d
n H e z H ey p
z d
0 d
E0 sin t k x x
0 d
E0 sin t k x x
5.5
波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程为
◇ 静态场和恒定场 微分形式
H J
积分形式

c
H dl

S
J dS
E 0

S
c
E dl 0
B 0
D
◇ 电流连续性方程 由
B dS 0 D dS q
S
H J
D t
两边取散度
D H J t D 0 J t
究宏观电磁现象的理论基础。 ◇本章在电磁场基本方程组的基础上给出电磁波的运动方程—波动方 程和电磁位方程，它们分别是波动理论和天线理论 的基础
5.1 5.2 5.3 5.4
法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程 时变电磁场的边界条件
5.5
5.6
坡印廷定理和坡印廷矢量
波动方程
5.7
动态矢量位和标量位
B dS
S
则
E dl
c
d B dS dt S
结论：变化的磁场将激励感应电场，感应电场是一种漩式写为微分形式
E dl
c
d B B d S dS （设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起） dt S t S
微分形式
H J D t B E t
麦克斯韦方程
积分形式
D ) dS t

c
H dl

S
(J
S
第一方程

c
E dl
B dS t
第二方程
第三方程 第四方程
B 0
D
讨论

s
S
B dS 0
D dS q
同理
得
2 E E 2 0 t
2
2 H H 0 t 2
2
电场E 的波动方程
磁场H 的波动方程
式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2 2 2 2 2 2 x y z
2
而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0 x 2 y 2 z 2 t 2
式中kx为常数。
试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密度Js。 z 解： （1）取如图所示的坐标。由
d
E 0
H t
o
x
得
e x
E E H ez 0 z x t
故
H
E0 e x cos z cos t k x x d t e z k x sin z sin t k x x d t 0 d d d k ex E0 cos z sin t k x x ez x E0 sin z cos t k x x 0 d 0 d d 1
B( r , t ) 0 4
J (r ' , t ) (r r ' ) ' d | r r ' |3 l
结论：时变的电场将激励磁场，时变的磁场也将激励电场，时变电场与时变磁 场的相互激励将形成向远方传播的电磁波
5.1
法拉第电磁感应定律及其数学方程
H E E t H E t
积分形式

c
H dl
c

S
( E
S

E dl
S
H dS t
E ) dS t
H 0
E


s
H dS 0
E dS q
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的基本规律。

c
H dl
S
D J dS t
安培环路定律的积分形式
由斯托克斯定理

c
H dl
S
H dS
安培环路定律的微分形式
H J D t
关于电流 传导电流：导电媒质中，带电粒子在电场的作用下的定向运动。 J c E 位移电流：具有磁效应，可以产生磁场。但与带电粒子的定向运动无关。 例 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位 移电流与传导电流的比值。 解：设电场随时间作正弦变化，表示为 则位移电流密度为 其幅值为 传导电流的幅值为
c
d dt
上式对磁场中的任意回路都成立。
设空间还存在静止电荷产生的静电场Ec,则总电场
E Ein Ec
沿任意闭合路径的积分
E dl Ein dl Ec dl Ein dl
c c c c
d dt
（静电场Ec沿任意闭合路径的积分为零）
磁通
n E1 E2 0 n D1 D2 0 n B1 B2 0
n H1 H2 = 0
或
E1t E2t 0
B1n B2n 0
D1n D2n 0
◇ 理想介质和理想导体的分界面 （ E2 0, D2 0, B2 0, H2 0 ）