Cauchy 收敛原理
“单调有界数列必有极限。
”与“夹逼定理：设有三个数列{}{}{}n n n z y x ,,满足
n n n z y x ≤≤，且c z x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，则c y n n =∞
→lim 。
”给出了数列收敛的充分条件
而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy 获得了完善的结论——Cauchy 收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。
定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任意的0>ε，都存在正整数N ，当N n m >,时，有
ε<-m n a a
证明 必要性：
设a a n n =∞
→lim ，则对0>∀ε，存在正整数N ，当N l >时，有
3
ε
<-a a l
从而当N n m >,时，有
εε
ε
<+
<-+-≤-+-=-3
3
m n m n m n a a a a a a a a a a
必要性得证。
充分性
先证明数列{}n a 有界。
取1=ε，由题设，必存在正整数0N ，当1,00+=>N m N n 时，有
110<-+N n a a 因而当0N n >时，有
11111000001++++++<+-≤+-=N N N n N N n n a a a a a a a a
当令{
} ,1,,,1100+=+N N a a a M ()(
)
,2,1=≤n M a n ，数列{}n a 有界。
由致密性定理，数列{}n a 存在收敛的子列{}
l n a ，设()∞→→l a a l n ，即对0>∀ε，存在正整数L ，
当L l >时，有
3
ε
<
-a a l n
令()1,1max ~++=N L l 。
则L l >~
，且N N n n N l
>+≥≥+11~，故当N n >时，有3
~ε
<
-l
n n a a ，从而
εε
ε
<+
<
-+-≤-3
3
~~a a a a a a l
l n n n n
即 a a n n =∞
→lim
充分性得证。
例4 设n
n x x x x x 12,,12,21121+=+==+ ，求n n x ∞→lim 。
解 明显，2≥n x ，故
2111
112
1212----+-≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+
=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 由递推公式及2
1
1112==
-x x x ，有 ()n
n n n n x x x x 2
1
2121212121<=-≤---+ （3－6－1） m m n n n n m n x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211 这里m n >。
对0>∀ε，由（3－6－1）式，有
1212
1
2
11212121212121-------<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+
++
≤
-m m n m n m m n n m n x x 要使
ε<-1
2
1m ，只须11
log 2
+>ε
m
取111
log 2+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+=εN ，当N m n >,时，ε<-m n x x 成立。
由Cauchy 收敛原理知，
数列{}n x 收敛。
不妨设a x n n =∞
→lim ，则
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=∞→+∞→n n n n x x 12lim lim 1 即a
a 1
2+
=，解之得，21±=a ，由题意知2>a ，故21+=a 。
因此 21lim +
=∞
→n n x
Cauchy 收敛原理说明：若数列{}n a 收敛，则对任意0>ε，必存在正整数N ，在N a 这
一项以后的任意两项之差的绝对值小于ε。
反过来，如果对任意的正整数N ，在N a 这一项以后存在两项，他们之差的绝对值大于某个常数，则可判定该数列发散。
例5 设() ,3,2,113
12
11=+
++
+
=n n
y n ，证明数列{}n y 发散。
证明 对任意正整数m ，令m n 2=，有
m
m m m y y m n ++
+++
+=-12
11
1
2
2
22111>
=
++
+++
+≥
m m
m m
m m
m 因此，取2
2
=
ε，则对任意的正整数N ，都存在大于N 的正整数n m n 2,=，有 2
2>
-m n y y 由Cauchy 收敛原理知，数列{}n y 发散。
习 题
1 设() ,3,2,11
31211=++++
=n n
a n ，证明数列{}n a 发散。
2 利用柯西收敛原理分析下列数列的收敛性。
（1）()M c q q c q c q c c a k
n
n n ≤≤++++=,12
210 ；
（2）()n b n n 1
1312111+-+-+-
= （3）!
sin !33sin !22sin 11sin 1n n
y n +
++++= （4）n
z n 11+
= 3 有界数列{}n a 若不收敛，则必存在两个子列()()∞→→∞→→l b a k a a l
k
n n ,且()b a ≠。
4设(),10,112<<-≤-+++k x x k x x n n n n 证明数列{}n x 收敛。