柯西极限存在准则
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。

数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε .
充分性证明：
(1)、首先证明Cauchy列有界
取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有
Ia(n)-a(N+1)I<1。

令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1}
则对一切n，成立|a(n)|≤M。

所以Cauchy列有界。

（2)、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以
A为极限。

那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。

（注意这种证明方法是实数中常用
的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）
因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有
|a(m)-a(n)|<ε/2
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得
|aj(k)-A|<ε/2
因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有
|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛。