柯西收敛准则证明闭区间套定理
所谓柯西收敛准则，即恒等于所有的级数的极限的准则。

它的概念源于18世纪法国数学
家柯西，他认为一个可缩小到零的毛细心序列序列的限制会与该级数的极限相等。

也就是说，柯西收敛准则概述准则的核心思想是：给定一个级数的极限，若该级数的任意个序列都等于该极限，那么该级数即称为收敛级数。

所以，可以用柯西收敛准则证明闭区间套定理，即若任意收敛序列在闭区间上有限界，那么该序列必定收敛，并且收敛的值正好等于闭区间的上界和下界的极限，即极限值所在的位置也就是该序列的收敛点。

假设有一个收敛序列，在闭区间[a, b]上有限界，那么可以假定这个序列可以由一系列a_n，b_n序列组成，其中a_n有可能以某种方式逼近a，而b_n以某种方式逼近b。

而柯西收敛原理告诉我们，任意一个收敛序列必然可以收敛于一个极限。

那么，当两个序列a_n，b_n 都逼近极限时，由柯西收敛原理有：收敛序列的极限必定等于a和b，即闭区间的上界和
下界的极限，也就是所谓的闭区间套定理。

总而言之，由柯西收敛原理可以证明闭区间套定理，也就是任意收敛序列在闭区间上的极限值只能等于该闭区间的上界和下界的极限值。

这就是所谓的柯西收敛准则证明闭区间套定理的总结。