反证法证明题简单
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
反证法证明题 例1.已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ∆内角.
求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o .
证明：假设ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ，
即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ，
所以O 180A B C ∠+∠+∠<，
与三角形内角和等于180o 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例2.已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根.
证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a
=
. 假设方程ax b =至少存在两个根，
不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠，
则12,ax b ax b ==，
所以12ax ax =，
所以12()0a x x -=.
因为12x x ≠，所以120x x -≠，
所以0a =，与已知0a ≠矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例3.已知332,a b +=求证2a b +≤.
证明：假设2a b +>，则有2a b >-，
所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-，
所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+.
因为26(1)22b -+≥
所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例4.设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和.
求证：{}n S 不是等比数列.
证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =⋅，
即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.
因为等比数列10a ≠，
所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例5.是无理数.
是有理数，则存在互为质数的整数m ，n m n =.
所以m =即222m n =，
所以2m 为偶数，所以m 为偶数.
所以设*2()m k k N =∈，
从而有2242k n =即222n k =.
所以2n 也为偶数，所以n 为偶数.
与m ，n 互为质数矛盾.
是无理数成立.
例6.已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且//a b ，求证//a α。

证明：因为//a b ,所以经过直线a,b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，
所以α与β是两个不同的平面．
因为b α⊂，且b β⊂，
所以b αβ=.
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假
设直线a 与平面α有公共点P ，则P b α
β∈=，
即点P 是直线a 与b 的公共点，
这与//a b 矛盾．所以//a α.
例7．已知0<a ,b ,c <2，求证：(2?a )c ，(2?b )a ，(2?c )b 不可能同时大于1
证明：假设(2?a )c ，(2?b )a ，(2?c )b 都大于1，
即(2?a )c>1,(2?b )a>1,(2?c )b>1，
则(2?a )c (2?b )a (2?c )b >1…①
又因为设0<a ,b ,c <2，(2?a )a 12)2(=+-≤
a a , 同理(2?
b )b≤1,(2?
c )c≤1,
所以(2?a )c (2?b )a (2?c )b ≤1此与①矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例8．若x ,y >0，且x +y >2，则x y +1和y x +1中至少有一个小于2 证明：假设x
y +1≥2，y x +1≥2， 因为x ,y >0，所以12,12y x x y +≥+≥，
可得x +y ≤2与x +y >2矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例9．设0<a ,b ,c <1，求证：(1?a )b ,(1?b )c ,(1?c )a ,不可能同时大于4
1 证明：假设设(1?a )b >41,(1?b )c >41,(1?c )a >4
1, 则三式相乘：ab <(1?a )b ?(1?b )c ?(1?c )a <64
1① 又∵0<a ,b ,c <1∴412)1()1(02=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ,4
1)1(≤-c c 以上三式相乘：(1?a )a ?(1?b )b ?(1?c )c ≤
641与①矛盾 所以原式成立
例10.设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2
1， 则.2)3()2(2)1(<++f f f （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2)39()24(2)1()
3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.。