65yttrgoi用反证法证明几何专题
对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
下面我们对反证法作一个简单介绍。
一、反证法的概念：
（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
二、反证法的基本思路：
首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
三、反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
归缪法
穷举法
四、适用范围
“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。
五、反证法在平面几何中的应用
例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。
（1）
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，
可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。
∵OA＝OB，M是AB中点
∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边）
同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM
这与已知的定理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2（穷举法） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
假设 如图，在△ABC ，∠ABC=d,M 是AB 的中点。
求证 CM=AM=BM
证明：CM 与AM 的大小关系有穷举而互斥的三种：CM>AM ,CM<AM ,CM=AM
1°如CM>AM ，则CM>BM.于是，由△ACM 和△BCM 得 ∠A >∠ACM,∠B >∠BCM
相加的∠A +∠B >∠C,即2d-∠C >∠C,或∠C<d,与假设矛盾. 2° 若CM<AM,则CM<BM.仿上推出∠C>d,也与假设矛盾. 结论反面的这两款都不成立，所以结论成立；
CM=AB.证毕
例3、已知：在四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、DC 的中点，且MN ＝
（AD ＋BC ）。
求证：AD ∥BC
证明：假设AD
BC ，连结ABD ，并设P 是BD 的中点，再连结MP 、PN 。
在△ABD 中 ∵BM ＝MA ，BP ＝PD ∴MP
AD ，同理可证PN
BC
从而MP ＋PN ＝（AD ＋BC ） ①
这时，BD 的中点不在MN 上
若不然，则由MN ∥AD ，MN ∥BC ，得AD ∥BC 与假设AD BC 矛盾，于是M 、P 、N 三点不
共线。
从而MP ＋PN ＞MN ② 由①、②得
（AD ＋BC ）＞MN ，这与已知条件MN ＝
（AD ＋BC ）相矛盾，故假设AD BC
不成立，所以AD ∥BC 。
例4.求证六边形都等于1的凸六边形至少有一条对角线的长不大于
3。
证明：假设存在一个边长为1的凸六边形ABCDEF ，其中每一条对角线之长均大于
3 ,
如图：作
则 那么六边形的内角和大于
这与六边形的内角和等于 °矛盾
所以命题成立。
例5 求证： 凸多边形的锐角不能多于三个。
证明：凸多边形有一个特点，
内角和=（总内角和–2）×180°
假设内角数为n ，其中锐角数为4，钝角数为n-4，
(2)
D
M
A
C
B
,
60︒〉∠∴ABM ︒
〉∠120ABM A C BM ⊥︒
=⨯︒72061202
3
≥∠∴SinABM ︒7203
,1〉==AC BC AB ΘM
F
E
B
C
则有内角和=180°×(n-2)=锐角和+钝角和
即180°×（n-2）<90×4+钝角和
即180°×（n-4）<钝角和
注意到(n-4)为钝角数，所以钝角和应该小于180°×（n-4），与上式矛盾，故不成立。
对于锐角数大于4的情况，同理可证。
例6 求证：直线与圆最多只有两个交点。
证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA＝OB＝OC
∴在等腰△OAB和△OBC中
OM⊥AB，ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。
因此直线与圆最多只有两个交点。
五、在立体几何中的应用
例7 证明两条直线是异面直线
求证：分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。
证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α，由，
知，故。
这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC和BD是异面直线。
课后作业
1．求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
2．在△ABC中，AB＝AC，P是内部一点且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。
参考答案：
1．证明：假设存在凸四边形ABCD，
使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°。
这与四边形ABCD中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°矛盾。
故假设不能成立，所以原命题成立
2．证明：假设PB PC，即PB＞PC或PB＝PC
(1)当PB＞PC时（如图）
在△PBC中，可得＜PCB＞∠PBC
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，从而∠ABP＞∠ACP①
在△BAP与△CAP中
∵AB＝AC，AP＝AP，PB＞PC
∴∠BAP＞∠CAP②
由①②和三角形内角和定理，可得∠APB＜∠APC，这与已知∠APB＞∠APC相矛盾。
(2)当PB＝PC时，在△APB与△APC中
∵AP＝AP，BP＝CP，AB＝AC
∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC
这与已知∠APB＞∠APC相矛盾，
由(1)(2)可知假设PB PC不成立。
故PB＞PC。