当前位置:文档之家› 电磁场与电磁波课后答案第1章

电磁场与电磁波课后答案第1章

第一章习题解答
给定三个矢量、和如下:
求:(1);(2);(3);(4);(5)在上的分量;(6);
(7)和;(8)和。

解(1)
(2)
(3)-11
(4)由,得
(5)在上的分量
(6)
(7)由于
所以
(8)
三角形的三个顶点为、和。

(1)判断是否为一直角三角形;
(2)求三角形的面积。

解(1)三个顶点、和的位置矢量分别为
,,
则,,
由此可见
故为一直角三角形。

(2)三角形的面积
求点到点的距离矢量及的方向。

解,,

且与、、轴的夹角分别为
给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。

解与之间的夹角为
在上的分量为
给定两矢量和,求在上的分量。


所以在上的分量为
证明:如果和,则;
解由,则有,即
由于,于是得到

如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。

设为一已知矢量,而,和已知,试求。

解由,有
故得
在圆柱坐标中,一点的位置由定出,求该点在:(1)直角坐标中的坐标;(2)球坐标中的坐标。

解(1)在直角坐标系中、、
故该点的直角坐标为。

(2)在球坐标系中、、
故该点的球坐标为
用球坐标表示的场,
(1)求在直角坐标中点处的和;
(2)求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。

解(1)在直角坐标中点处,,故
(2)在直角坐标中点处,,所以
故与构成的夹角为
球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。

证明和间夹角的余弦为
解由
得到
一球面的半径为,球心在原点上,计算:的值。


在由、和围成的圆柱形区域,对矢量验证散度定理。

解在圆柱坐标系中
所以

故有
求(1)矢量的散度;(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分;(3)求对此立方体表面的积分,验证散度定理。

解(1)
(2)对中心在原点的一个单位立方体的积分为
(3)对此立方体表面的积分
故有
计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分,并求对球体积的积分。


又在球坐标系中,,所以
求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与轴和轴相重合。

再求对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。



所以
故有
求矢量沿圆周的线积分,再计算对此圆面积的积分。


证明:(1);(2);(3)。

其中,为一常矢量。

解 (1)
(2)
(3)设,则,故
一径向矢量场表示,如果,那么函数会有什么特点呢?
解 在圆柱坐标系中,由
可得到
为任意常数。

在球坐标系中,由
可得到
给定矢量函数,试求从点到点的线积分:(1)沿抛物线;(2)沿连接该两点的直线。

这个是保守场吗?
解 (1)
(2)连接点到点直线方程为


由此可见积分与路径无关,故是保守场。

求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量定出;求点的方向导数值。


故沿方向的方向导数为 点处沿的方向导数值为
试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式 。

解 在圆柱坐标中,取小体积元如题图所示。

矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为
同理
因此,矢量场穿出该六面体的表面的通量为
故得到圆柱坐标下的散度表达式
方程给出一椭球族。

求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解 由于
故椭球表面上任意点的单位法向矢量为
题图
现有三个矢量、、为
(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?
(2)求出这些矢量的源分布。

解(1)在球坐标系中
故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示;
在圆柱坐标系中
故矢量可以由一个标量函数的梯度表示;
直角在坐标系中
故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。

(2)这些矢量的源分布为
,;
,;

利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
证明
解根据算子的微分运算性质,有
式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。

由,可得
同理
故有
利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
所以
利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及,试证明之。

解(1)对于任意闭合曲线为边界的任意曲面,由斯托克斯定理有
由于曲面是任意的,故有
(2)对于任意闭合曲面为边界的体积,由散度定理有
其中和如题图所示。

由斯托克斯定理,有

由题图可知和是方向相反的同一回路,则有
所以得到
由于体积是任意的,故有
题图。

相关主题