高考小题标准练(十三)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.命题“∃x0∈(0，+∞)，lnx0=x0-1”的否定是( )
A.∀x∈(0，+∞)，lnx≠x-1
B.∀x∉(0，+∞)，lnx=x-1
C.∃x0∈(0，+∞)，lnx0≠x0-1
D.∃x0∉(0，+∞)，lnx0=x0-1
【解析】选A.改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x-1.
2.在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=30°，CD是边AB上的高，则·=( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选B.依题意得CD=ACsin30°=，在方向上的投影等于，
因此·=×=.
3.如果复数a(a-1)+i(a∈R)为纯虚数，则a=( )
A.-2
B.0
C.1
D.2
【解析】选C.由已知得a(a-1)=0，且a≠0，解得a=1.
4.实数m为[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2-mx+4=0有实根的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.若方程x2-mx+4=0有实数根，则Δ=m2-16≥0，解得m≤-4或m≥4，故所求概率P==.
5.设F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【解析】选C.设P点在双曲线右支上，由题意得
故|PF1|=4a，|PF2|=2a.
由条件得∠PF1F2=30°，
由=，
得sin∠PF2F1=1，所以∠PF2F1=90°，
在Rt△PF2F1中，2c==2a，所以e==.
6.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0，1]时，f(x)=x，则方程f(x)=log3|x|的零点个数是( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.多于4个
【解析】选C.函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据[0，1]上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制[-1，0]上的图象，根据周期性，可以绘制[1，2]，[2，3]，[3，4]上的图象，而y=log3|x|是偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象在y轴右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点.
7.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，
其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯该
材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱
形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).
已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈)( )
A.600立方寸
B.610立方寸
C.620立方寸
D.633立方寸
【解析】选D.连接OA，OB，OD，设☉Ο的半径为R，
则(R-1)2+52=R2，
所以R=13，sin∠AOD==.
所以∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.
所以S弓形ACB=S扇形OACB-S△OAB
=-×10×12≈6.33平方寸.
所以该木材镶嵌在墙中的体积为
V=S弓形ACB×100≈633立方寸.
8.已知函数f=Αsin(ωx+φ)(Α>0，ω>0，<)的部分图象如图所示，则f的递增区间为( )
A.，k∈Ζ
B.，k∈Ζ
C.，k∈Ζ
D.，k∈Ζ
【解析】选B.由图象可知A=2，T=-=，所以T=π，故ω=2.
由f=-2，得φ=2kπ-(k∈Z).
因为=，所以φ=-，
所以f(x)=2sin.
由2x-∈(k∈Z)，
得x∈(k∈Z).
或：T=-=，
所以T=π，-=-=-，
+=+=，
所以f(x)的递增区间是(k∈Z).
9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )
A.6
B.8
C.10
D.15
【解析】选C.该程序框图运行3次，各次S的值依次是3，6，10，所以输出的结果是10.
10.已知展开式中常数项为1120，其中a是常数，则展开式中各项系数的和是( )
A.28
B.38
C.1或38
D.1或28
【解析】选C.由题意知·(-a)4=1120，解得a=±2，
令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1-a)8=1或38.
11.如图所示，网格纸中每个小网格代表边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知该几何体是一个组合体，左侧是一个放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，右侧是一个半径为1的四分之一球，则该几何体的体积为π×12×2+××13=.
12.已知函数f=2x-x3(x>0)，以点(n，f)为切点作该函数图象的切线l n(n∈N*)，直线x=与函数y=f的图象及切线l n分别相交于点P n，Q n，记a n=，则a n的最大值为( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选D.对f=2x-x3(x>0)求导，
得f′=2-3x2，
所以切线l n的斜率为f′=2-3n2，则切线l n的方程为
y-=，
即y=x+2n3，
易知P n，Q n，
即y n=-，u n=，
故a n==1-n2.因为n∈N*，所以当n=1时，a n有最大值，a n的最大值为1-=.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项的和为S n，则的值为________.
【解析】因为S4=，a3=a1q2，所以=.
答案：
14.设函数f(x)=xsinx在x=x0处取极值，则(1+)·cos2x0=____________.
【解析】因为f′(x)=sinx+xcosx，
又函数f(x)=xsinx在x=x0处取极值，
所以f′(x0)=sinx0+x0cosx0=0⇒sinx0
=-x0cosx0⇒x0=-，
从而(1+)·cos2x0=·cos2x0=·cos2x0=1.
答案：1
15.已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.
【解析】要使弦AB最短，只需弦心距最大，
根据图象知点P(1，3)到圆心的距离最大，则|OP|=，圆的半径为，
所以|AB|min=2=4.
答案：4
16.已知点P为双曲线C：-=1(n>0)右支上的一点，其右焦点为F2，M为线段PF2的中点，若+的最小值为3(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________.【解析】设双曲线C的左焦点为F1，连接PF1，
因为M为线段PF2的中点，O是线段F1F2的中点，
故=，=，由已知得a=2，
由于点P在双曲线右支上，根据双曲线定义得
-=2a，
所以+=(+)
=(2a+2)=2+
≥2+(c-a)=c，
即+的最小值为c，
所以c=3，故双曲线C的离心率为e==.
答案：。