精锐教育学科教师辅导讲义例2：已知：如图，CD 是⊙O 的弦，CE=FD ，半径OA ，OB 分别过E ，F 点． 求证：△OEF 是等腰三角形．证明：如图，连接OC 、OD ，∴OC=OD, ∴∠C=∠D, ∵CE=DF, ∴△OCE ≌△ODF, ∴OE=OF, ∴△OEF 是等腰三角形 练习：1. 要确定一个圆，需要知道_________和___________.2. 已知⊙O 的直径为4cm ，则⊙O 的面积为_________，周长为_________。
3. 如果的周长为10π，那么它的半径为_________4. 到定点Ｏ的距离等于２cm 的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆．5. 在同圆中，如果B A=2D C ，那么弦AB 、CD 的关系为AB____2CD.6.一个圆的最长弦长为１０cm ，则此圆的半径是_________7.Ａ、Ｂ是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是_________ 8.如图：AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，求证：∠1=∠2。
9.如图：在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，试说明点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，并画出这个圆。
10.已知：两个以O 为圆心的同心圆中，M ，N 是小圆上两点，大圆的弦AB ，CD 分别过点M ，N ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD （如图）．求证：AM=CN ． 2 0CBA 1 AC BOD考点二 、垂直于弦的直径例1：如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB•的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3：2B ．5：2C ．5：2D ．5：4 答案：C小学初中高中各科视频讲义 汇总小学初中高中 Word 汇总 同步培优竞赛 三轮复习 一些书籍Word 还可以订做你需要Word 联系我 468453607 微信t442546597例2：如图所示，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=15cm ，OM ：OC=3：5，求弦AB 的长．11．AB=12cm 练习： 1.判断题1) 1． 过圆心平分弦（直径除外）的直线必平分弦所对的两条弧 ．（ ） 2) 2． 平分弧的直径必平分弦 ．（ ） 3) 3． 平分弦的直线必垂直弦 ．（ ）4) 4． 在圆中,如果一条直线经过圆心,且平分弦,必平分此弦所对的弧 ．（ ） 5) 5． 分别过弦的三等分点作弦的垂线．将弦所对的两条弧分别三等分 ．（ ）。
2.下列命题中,不正确的是( )A ．垂直于弦的直径平分这条弦B ．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦C ．弦的垂直平分线是圆的直径D ．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦3.圆的半径等于4cm ，圆内的一条弦长为43cm ，则弦中点与弦所对弧中点的距离等于___________． 4． 在⊙O 中, 已知弦AB=m, 弧AB 的中点C 到AB 的距离CD=n, 则圆的半径r 为__________． 5． ⊙O 半径20cm, 弦AB ∥CD, AB 与CD 距离等于4cm, 若AB=24cm, 则CD 的长=__________． 6. 如图，DE 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=•CE ， •则AC 与BC 的大小关系是 BACDOBACDOM7．如图，⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等，∠A=70°， 则∠BOC=8.已知：如图，⊙O 的半径为25cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=14cm ．则AB 和CD 间的距离为 ．9．⊙O 的直径是50cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=48cm ，则AB•与CD•之间的距离为_______． 10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长．”根据题意可得CD 的长为________．11．如图，方格纸上一圆经过（2，6）、（-2，2）、（2，-2）、（6，2）四点，•则该圆圆心的坐标为（ ）A ．（2，-1）B ．（2，2）C ．（2，1）D ．（3，1）12.已知P 为⊙O 内一点，且OP=2cm ，如果⊙O 的半径是3cm ，那么过P 点的最短的弦等于（ ） A ．1cm B.2cm C.5cm D.25cm13．某机械传动装置在静止的状态时，如图所示，连杆PB 与点B•运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．14.如图，CO 是圆的半径，AB 是弦，且AB ⊥CO 于E ，CE=1cm ，AB=10cm ，求半径CO 的长．B A P OBAC ED O16．已知：如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．17．已知：如图24-1-28，P 为直径AB 上一点，EF 、CD 为过点P 的两条弦，且∠DPB=∠EPB ．求证：（1）CD=EF ；（2）CE DF ．18．已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN 的中点，P•是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？考点三 、弦、弧、圆心角例1：如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC•的三边所得的弦长相等， •则∠BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 答案：D例2：已知：如图，⊙O 中，M ，N 分别是两条不平行的弦AB 和CD 的中点，且AB=CD ．求证：∠AMN=∠CNM ． B CA OO 2BCADO 1P答案：提示：连接OM ，ON ，则OM ⊥AB ，ON ⊥CD ．所以∠OMA=∠ONC=90°．又AB=CD ，所以OM=ON ．由此得∠OMN=∠ONM ．所以∠AMN=∠CNM ．练习：1.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D.AB 与2CD 的大小关系无法比较2．AD 是⊙O 的直径，AB 、AC 是它的两条弦，若AD 平分∠BAC ．那么①AB=•AC ，•②AB AC =，③BD CD =，④AD ⊥BC ，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在半径为2的圆中，长为23的弦所对的圆心角的度数是( ).(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 4. 若⊙O 内一条弦把圆周分为3:1两段弧，若⊙O 的半径为R ，那么这条弦的长为（ ） (A)R (B)2R (C)2R (D) 3R 5、已知AB 、CD 是两个不同圆的弦，如AB=CD ，那么AB 与CD 的关系是（ ） A 、AB CD = B 、AB CD > C 、AB CD < D 、不能确定6、在⊙O 中，弦AB=3，圆心角∠AOB=120°，则⊙O 的半径为 .7、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是 .8、已知：如图，AB 为半⊙O 的直径，C 、D 、E 为半圆弧上的点，CD DE EA ==， ∠BOE=55°，则∠AOC 的度数为 .9．如图7所示，已知C 为AB 的中点，OA ⊥CD 于M ，CN ⊥OB 于N ，若OA=r ，•ON=•a ，•则CD=_______．10．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），• EODC BABCADO NM11. 已知：如图，两个以O 为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ．求证：AC=BD ．12.如图，在⊙O 中，AB=CD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 求证：∠AEF=∠CFE.13.过⊙O 外一点P 作两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，PO 平分∠BPD ，求证：AB=CD.14.如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦AE ∥CD ，求证： BE=2AC.15.如图，AB 为⊙O 的直径，D 为 AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DE 交AC 于点F.(1)求证：AC=2DE ；(2)求证：AF=DF. ODCBAPD CF EO DC BA考点四、 圆周角例1：如图所示，∠A 是⊙O 的圆周角且∠A=40°，求∠OBC 的度数．解：因为∠A=12∠BOC ，又因为∠A=40°， 所以∠BOC=2∠A=80，在等腰△OBC 中，∠OBC=1801808022BOC ︒-∠︒-︒==50°例2：如图所示，在足球比赛场上，甲、•乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随 冲到B 点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，•还是将球传给乙，让乙射门好？简述理由． 解：让乙射门，连NC ，则∠B=∠NCM>∠A ．练习：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对圆心角的 。
半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°圆周角所对的弦是 。
2、如图1，已知A 、B 、C 在⊙O 上，∠COA ＝100°，则∠CBA ＝ 度.3、如图2，点A 、 B 、C 是⊙O 上的三点，若∠BOC =56°，则∠A ＝___________°4、一条弦将一个圆分成1：2两部分，则这条弦所对的圆周角为 .5.如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC ＝20°，那么∠ACB ＝ ． A图1OCBA图2O DCBA图36、如图4，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长为_____ ____。
7、如图5，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°8、如图6，△ABC 内接于 ⊙O ，∠C = 45º, AB =4 ，则⊙O 的半径为（ ）A . 2B . 4C . 23D . 59.如图所示，AB 是直径，D 是圆上任意一点，C 不与A 、B 重合，连结BD ，并延长得到C ，使DC=DB ，连结AC ，判断 △ABC 形状并说明理由10.如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，，求CD 的长。