C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
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说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
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例 2 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程) 故所求通解为
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§5.3.2 二阶线性微分方程
如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未 知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称 为二阶线性微分方程. 它的一般形式为
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
y p(x) y q(x) y f (x), f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性 质. 事实上，这些性质对 n 阶微分方程也成立.
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定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1

tan
x
常数, 故方程的通解为
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定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
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故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
第三节 二阶微分方程
§5.3.1 特殊二阶微分方程 §5.3.2 二阶线性微分方程 §5.3.3 二阶常系数线性微分方程
1
§5.3.1 特殊二阶微分方程
1. y '' f (x) 型
积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数， 可由初始条件确定这两个任意常数.
2. y '' f (x, y ')型
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有

故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
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两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为 y x3 3x 1
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3. y f ( y, y)型
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
这种类型方程右端不显含未知函数 y，可先把 y '
看作未知函数.
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设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
例 1. 求方程 y '' y ' ex的通解.
满足初值条件
y x0 3, y ' x0 2的特解.
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§ 5.3.3 二阶常系数线性微分方程
在生产实践可科学实验中，有时需要研究力学 系统或电路系统的问题. 在一定条件下，这类问题的 解决归结于二阶微分方程的研究. 在这类微分方程中 ，经常遇到的是线性微分方程. 如力学系统的机械振 动和电路系统中的电磁振荡等问题，都是最常见的问 题.
3
补例. 求解 (1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
解
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 ,
利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 ) 两端再积分得 y x3 3 x C2
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定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4. 的解, 则
如果
是方程
y P(x) y Q(x) y f1(x) if2(x)
与 y2 (x) 分别是方程
的解.
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x)y f2(x)