§12.4 线性微分方程
一、 线性方程
线性方程:
方程)()(x Q y x P dx
dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx
dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)
2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.
(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.
(4)y x dx
dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或3
2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:
齐次线性方程
0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y
dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=⎰
,
或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.
例1 求方程y dx
dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得
2
-=x dx y dy ,
两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC ,
方程的通解为y =C (x -2).
非齐次线性方程的解法:
将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把
⎰=-dx x P e x u y )()(
设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得
)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,
化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,
C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,
于是非齐次线性方程的通解为
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰
-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰
⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.
例2 求方程25)1(1
2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.
先求对应的齐次线性方程
012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1
2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C ,
齐次线性方程的通解为
y =C (x +1)2.
用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得
25
22)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21
)1(+='x u ,
两边积分,得 C x u ++=23)1(3
2. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为
])1(32[)1(232
C x x y +++=. 解法二 这里1
2)(+-=x x P , 25
)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)1
2()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,
2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为
])1(32[)1(])([23
2)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).
解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L
-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di L
E , 即 L
E i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得
t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为
i |t =0=0.
方程
t L
E i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得
])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L R
m dt L R +⎰⎰=⎰-ω )sin (C dt te e L
E t L R t L R
m +=⎰-ω t L R m Ce t L t R L
R E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.
将初始条件i |t =0=0代入通解, 得2
22 L R LE C m ωω+=
, 因此, 所求函数i (t )为
) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程
伯努利方程: 方程
n y x Q y x P dx
dy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.
下列方程是什么类型方程？
(1)
4)21(3
131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dx
dy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y x y , 是伯努利方程. (4)x xy dx
dy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得
)()(1x Q y x P dx
dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程
)()1()()1(x Q n z x P n dx
dz -=-+. 例4 求方程
2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得
x a y x
dx dy y ln 112=+--, 即 x a y x
dx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为
x a z x
dx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x a
C x z -=.
以y -1代z , 得所求方程的通解为
1])(ln 2[2=-x a C yx .
经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程y
x dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为
y x dy
dx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为
u dx du 11=-, 即u
u dx du 1+=. 分离变量, 得
dx du u u
=+1,
两端积分得
u -ln|u +1|=x -ln|C |.
以u =x +y 代入上式, 得
y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.。