函数的奇偶性及其应用举例
（湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚）
【摘要】
函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心
内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。

函数的奇偶性是函数重要性质之一。

近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。

本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。

【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用
一、奇、偶函数的定义：
若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者，
则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数）
二、函数的奇偶性分类
⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧
=--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数：
且非奇非偶函数偶函数奇函数
三、奇、偶函数的图象：
奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数
偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

四、函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称
②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。

五、 判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性：
第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。

第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数
③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数
（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。

，
六、函数奇偶性的应用：
（1）函数奇偶性的判断
例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为
)0(.5
1<=x x y A )0(.7
1>=x x y B 2
1.x y C = 3
1.x y D =
析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3
13
1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。

例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是
A ．2
()1f x x =- B ．3
()f x x = C ．5()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
D ．2
()log
f x x =
析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但
()
11)(2
2
-=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
定义域
为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x
-≠-≠-⎪⎭⎫
⎝⎛=--且，
故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，只有B 项符合。

例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性：
析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞，
， ∵ 2()21f x x x =-+，
∴ 2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，
∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图
象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知，
2
()21f x x x =-+为偶函数 说明 ：判断函数的奇偶性：一般情况下，若采用定 义法，先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后判断f (-x ) 与f (x )的关系。

左为有些函数，
可用图象法判断函数的奇偶性。

（2）利用函数的奇偶性求值
例4、已知函数21
()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=∈+是奇函数，
又(1)2f =，(2)3f <， 求,,a b c 的值.
解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得41
32a b
+<， ∴
41
31
a a +<+，解得12a -<<。

又a Z ∈，∴0a =或1a =.
若0a =，则1
2
b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z.
∴1,1,0a b c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组 成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。

例5、已知f (x )=ax 2
+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则
a =_____________，
b =____________. 解析：定义域关于原点对称，故a －1=－2a ，13
a =
， 又对于f (x )有f (－x )=f (x )恒成立，∴b =0.
（3）利用函数的奇偶性解不等式：
例6、若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x ) 的图象，利用数形结合的方法.
解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝.
答案：｛x ｜0＜x ＜2｝
说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，
再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.
（4）利用函数奇偶性求函数解析式
例7、若f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ).
分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.
当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0).
∴lg(2)(0)()lg(2)(0)x x x f x x x x --<⎧=⎨-+≥⎩。

说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相
连。

例8、设函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数，且3
()()3
f x
g x x +=+，
求()f x 和()g x 的解析表达式。

解：∵3
()()(1)3
f x
g x x +=+，
∴3
()()3
f x
g x x -+-=-+，
又∵函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数， ∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-，
∴上式化为3
()()(2)3
f x
g x x -=-+
解(1),(2)组成的方程组得
29()(,3)9f x x R x x =∈≠±-，23()(,3)9
x
g x x R x x =∈≠±-。

【参考文献】
1、高中数学同步导学大课堂. 任志鸿主编 . 2007
2、全日制普通高级中学教科书必修---数学第一册（下）. 人民教育出版社 . 2003
3、瞿连林.高中数学专题教学[M]. 光明日报出版社. 1992
4、中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）上册 . 高等教育出版社 . 2009
5、湖北省高职统考复习丛书数学第一轮 . 华中科技大学出版社 . 2010
6、普通高校对口招生复习丛书数学知识点精讲精练 . 上海科学技术文献出版社 . 2012。