值域最值专题 一．知识点 1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、基本初等函数的值域1.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R ，值域为R 22.二次函数的定义域为R ， f(x) ax bx c(a 0)22(4ac b)(4ac b)当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}。

y|y y|y 4a4ak y (k 0)3.反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； xx+4.y ＝a(a>0且a≠1)的值域是R 5.y ＝logx(a>0且a≠1)的值域是R a 三．当函数y=f(x)用解析式给出时，求函数值域的方法 1.直接法分析：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（也可以利用常见函数的值域来求）222x 0,1,2,3y x 2xx 1 1 xy 练习⑴， ⑵3 x y f(x) 2 4 x⑶ . 答{ y| y2} ⑷ 答{ y| y R 且y -1/2} 2x 52.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；222xy 2x x 1y 2x 4x 103练习⑴（≤≤） ⑵ xxy 1 x x 31f(x) 1 24⑶（≤≤） ⑷ 2f f(x) x 6, 2x 4x 6已知(取二者的大的函数值），则 max 3.利用函数的单调性――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性. 4xxf(x) x 1102f(x) 2x 2 1 x⑴（≤≤）⑵（≤≤）x180[2,10](3）答：，答39x4.配方法x 5y x (1 x 9)(0,)y 2 logx 1（二次函数法）：主要适用于二次函数或可化为二次函数(利用换元法将函数转化)的函数；求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系. 闭区间上的二次函数必有最值，最值在端点处或顶点处取得. 22y x1 xy 4 3 2x x⑴⑵⑶y＝＋（转化思想做过）x1 x2222⑷设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围（转化思想做过）⑸设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式.(0,2]（6）当时，函数在时取得最大值，2a f(x) ax 4(a 1)x 3x 2x则的取值范围是___1a （答：）；2③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；（5）函数的值域是自变量X在定义域中取每一个值时，所对应的函数值的集合，也就是对Y在且只在值域中的每一个取值，X在定义域中一定有一个值之对应.这样求函数的值域就是把函数解析式看作关于X的方程后，此方程在定义域内有解的参数Y的取值范围.从而在函数与方程间建立了一种关系“适当条件下可互（但不能解决方程根的个数问题，方程根的个数问题可转化为相应函数图象交点问题（一曲线、一直线，曲线定，直线动）一元二次函数根的个数问题可考虑根的分布来解）由此：af(x) bax b①y=型的所谓反函数法(也可按分母整理，用反比例函数处理同样处理的有y=) cx dcf(x) d2ax bx c②y=型的判别式法：第一步，判断分子分母有无公因式;第二步，有时约分化为上面2dx ex fax by=型，但要注意定义域改变所引起的后果，无时考察是否自然定义.第三步，自然定义的可考cx d虑判别式法，但注意二次项是否为零，不是的不能简单用判别式法，而应化为在定义域内有解，用根的分布来解. 五、反函数法（2）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性. 例7：求下列函数的值域：2x 15x 1xy y 3 1⑴（≤≤）⑵24x 2x 1x xa a3 cosxy y⑶⑷x x2cosx 1a a例2．求下列函数的值域1 x3xy y ② ①22x 5x 4133{yy 且y R}* ,+解:①反函数法或分离常数法：②判别式法：244cx d(a 0)y 可用反函数法或分离常数法求；形如：ax b2ax bx c111y (a,a不同时为0)形如：可用判别式法求。

122ax bx c222④判别式法：主要适用于可化2xa(y)x b(y)x c(y) 0y f(x)为关于的二次方程的函数．在由x y a(y) 0 0且，求出的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值；运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；四、判别式法例6：求下列函数的值域：函数y＝＋的值域是⑴⑵____________ x1 x22x xx 2x 2f(x) f(x)2x 1x x 122x 2x 5y 2x x 1（3）解法（一）用判别式法：22x 2x 52y (y 2)x (y 2)x y 5 0,x R由得，由，这时，，解得：，2x x 1y 2y 22 5①若，则矛盾，∴，y 2 y 22 y 6②且当时，，∴函数的最大值是，无最小值．22 (y 2) 4(y 2)(y 5) 0 1x 6y 6解法（二）分离常数法：22x 2x 533 2 y 2 由∵，∴，∴函数的最大值是，无1322x x 1x x 12(x ) 241332(x ) 62 y 6最小值．244 xa y a3*0,1+例2．（1）函数在上的最大值与最小值的和为，则（2）对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为2 ．2xx px 4x p 30 p 4（3）已知函数，，构造函数，定．2xg(x) 1 xf(x) 2 1F(x)|f(x)| g(x)( , 1) (3, )B，当时，，那么（）义如下：当时，F(x)F(x) |f(x)||f(x)| g(x)F(x) f(x)0(A)(B) 1有最小值，无最大值有最小值，无最大值1(C)(D)有最大值，无最小值例6．已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求无最小值，也无最大值 2mx 8x nf(x) logm,n的值。

32x 1 M=n=51 （4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；⑴⑵y 2x 1 2x②二、换元法例2：求下列函数的值域：2y x 1 2xy 4 3 2x x⑶⑷0.532 x 2x1 2y y log(3 2x x)⑹（三角换元）⑸2y (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)y x 1 xx b 12 12f(x) 3F(x) *f(x)+ f(x)(2 x 4)③已知，则的值域为__（答：的图象过点（2,1）[2, 5]）x 1x11 xx9 10 3 90f(x) 4 2 例3：已知≤，求函数的值域42 x4 22logx 7logx 3y log log0 例4：已知≤，求函数的值域。

21212x 2222,y 6f(x) 2 logx(1 x 9)y 22g(x) f(x ) fx练习:已知,求函数的最值min max3⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；六、导数法例8：求下列函数的值域：5432x 1,2x 0,1y x 5x 5x 2f(x) x 1 x)⑴⑵（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

八、数形结合法4）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等例10：求下列函数的值域：sinxy 的值域为，⑴函数2 cosx 4sin 1 f()⑵函数的值域⑶如果实数、满足，为。

2cos 4y22xy(x 2) y 3那么的最大值是。

x22f(x) x 12x 52 x 4x 5⑷函数的最大值为。

22f(x) x 2x 2 x 2x 2⑸函数的最小值为。

22y (x 2) (x 8)*10, )②求函数的值域（答：）；③求函数22y x 6x 13 x 4x 522[43, )( 26,26)y x 6x 13 x 4x 5及的值域（答：、）x注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则x要使两定点在轴的同侧.y 3y 11. 如果实数x、y满足等式＝1且0≤x≤3，那么的范围是_____ x 2x 1 5.已知5x＋12y＝60，则的最小值是_____。

22x y131360A. B. C. D. 1 135126. 已知函数y＝＋，求函数的最小值及此时x的值。

22(x 1) 1(x 5) 9不管采用哪一种方法，都要特别注意定义域对值域的制约作用。

(3)几个注意点：1.求函数的最值与求函数的值域很多情况下是同一事情，其方法也基本一样. 2.数形结合是解题的一个非常重要的思想. 3.二次函数在闭区间上求最值时往往需要考虑根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论f(x)f(x) 04.恒成立问题往往可转化为最值(如恒成立,即的最小值大。