函数值域方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，舍去；,2324)2(≠-⨯=f （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.求|1||3||2|-+-+-=x x x y 的值域 例6.求|2||4||1||3|-+-+-+-=x x x x y 的值域【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y 〈〈〈-++-+-= 的最值时，①n 为奇数时，取得最小值；时，当y x x n 21+=②取得最小值。

时，为偶数时，当y x x x n n n ],[122+∈例7.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y例8.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f 〈〈〈-++-+-= ， ，无最大值；时，当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i ni x f x f x f x f a =〉∑= ；，时，当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i n i x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ，无最小值。

时，当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1n i ni x f x f x f x f a =〈∑=例9.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令 上单调递增在R x f )(⇒422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f[-4,2][-2,1])(上的值域为在x f ⇒二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，写成关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

例10．求函数32x 2x 1x x y 22+-+-=的值域例11．228()1mx x nf x x ++=+已知函数的值域为[1,9]，求m 、n 的值三．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为我们熟悉的函数形式，从而求出值域例12．求135-+-=x x y 的值域 例13．求242x x y -+-=的值域【点评】例12为代数换元，例13为三角换元，带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。

例14．求函数)5,2(,11342∈-+-=x x x x y 的值域 例15．求函数)1,1(,45212-∈+++=x x x x y 的值域 解二： 解二：例16．求函数]2,0[,cos sin cos sin π∈+=x x x x x y 的值域例17．求函数x x y ++-=2312的值域 解一：（三角换元法）]1,2[-∈x由]2,0[,sin 32,cos 313)2()1(22πθθθ∈=+=-⇒=++-x x x x 令则)32arctan sin(39sin 33cos 32+=+=θθθy由39]32arctan 2,32[arctan 32arctan ]2,0[max =⇒+∈+⇒∈y πθπθ3213239min =⋅=y ]39,32[值域为⇒四．分离常数法：一次分式函数dcx bax x f ++=)(及可化为其形式的函数例18．求函数233-+=x x y 的值域 例19．)1,0(),2(log 2∈=x x y x 求函数 解一：五．配凑法：耐克函数、伪耐克函数)0()(〉±=a xax x f 及可化为其形式的函数 例14．求函数)5,2(,11342∈-+-=x x x x y 的值域 例15．求函数)1,1(,45212-∈+++=x x x x y 的值域 解一： 解一：例20．求函数)1,1(,11222-∈++++=x x x x x y 的值域 解：（分离配凑法）六．基本不等式法：若,2222,0,2222b a b a ab b a b a ab b a +≤+≤⇔+≤+≤〉则当且仅当b a =时等号成立。

推广：≤⇔++≤++≤〉32223333,0,,abc c b a c b a abc c b a 则若≤++c b a时等号成立。

，当且仅当c b a c b a ==++2223 例21．求函数)0(22〉+=x x x y 的值域 例22．求函数)0(122〉+=x xx y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域 例23．求函数,2632x x y -=)30(<<x 的值域解二：【点评】利用基本不等式求函数的最值要注意“一正二定三等号”。

例24．若。

的取值范围是则_________,,,22b a b a b ab a R b a ++=+-∈ 解一：2222)(43)2(33)()(3)(b a b a ab b a b a b a ab b a +=+≤=+-+⇒+=-+ ]4,0[0)(4)(2∈+⇒≤+-+⇒b a b a b a【点评】时等号成立，当且仅当，则若b a b a b a ab R b a =+≤+≤∈)(2)(4,222。

七．复合函数外函数法：对复合函数为y = f(g(x))，令函数)(),(x g u u f y ==，先求出内函数)(x g u =的值域，把它作为外函数)(u f y =的定义域，从而求出外函数值域的方法。

例25．求函数()3x 5x 2y 221++-=log 的值域八．反函数法：当函数有反函数时，可求反函数的定义域，从而得到原函数的值域例18．求函数233-+=x x y 的值域 解二：【点评】函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠≠++=c d x 0c d cx b ax y ,,的值域为：⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a九．有界性法例26．求函数2cos 31cos 2-+=x x y 的值域 例27．求函数11+-=x x e e y 的值域例28．求函数221x y x =+的值域 例29．求函数θθcos 2sin -=y 的值域解一： 解一：十．图像法：画出函数的图象，根据图像直观地得出函数的值域例30．若函数.)()5,2()0,3()1(的定义域，求函数的定义域为x f xx f ⋃-+例31．求函数]1,[,22)(2+∈+-=t t x x x x f 的最大值和最小值【举一反三】求函数]1,[,22)(2+∈+-=t t x x x x f 的值域例33.设1||)(2+-+=a x x x f a 为实数，函数.（1）求的最小值；时、、分别取)(101x f a - （2）求的函数解析式的最小值)()(a m x f .【举一反三】设)()2(,1)0()1.(||)(2)(2x f a f a x a x x x f a 求的取值范围；求若为实数，函数≥--+=的最小值.十一.三角恒等变换法例34.cos cos αβαβ+已知sin +sin =求的取值范围。

2十二．绝对值不等式的性质：||||||||||||b a b a b a +≤+≤-（前者取等取等，后者00≥≤ab ab ）例35．求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域 例36．|4||3|---=x x y 的值域解一： 解一：十三.参数法例37．若._________10,,22的取值范围是，则且y x y x R y x +=+∈ 解二：十四．数形结合法（几何法）例35．求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域 例36．|4||3|---=x x y 的值域解二： 解二：例29．求函数θθcos 2sin -=y 的值域解二：例37．若._________10,,22的取值范围是，则且y x y x R y x +=+∈ 解三：例38．的最小值求满足已知22,60125,y x y x y x +=+及此时y x ,的值解一：例40．求函数52122+--+=x x x y 的值域解一：2222)02()1()01()0(-+---+-=x x y)2,1(),1,0(),0,(B A x P 令则||||PB PA y -=22||||||-≥⇒=≤-=-⇒y BA PA PB y ，当且仅当1-=x 时取等号)(1521112252142521)52(122222222+∞→→+-+++=+-+++=+-+++--+=x x x x xx x x x x x x x x x y,1)2[-值域为∴十五．向量法：（1）)(||||||||等异向取等，后者同向取，前者→→→→→→→→⋅≤⋅≤⋅-βαβαβαβα； （2）)(||||||||||||等异向取等，后者同向取，前者→→→→→→→→+≤+≤-βαβαβαβα 例17．求函数x x y ++-=2312的值域 解二：]1,2[-∈x ，令)2,1(),3,2(x x +-==→→βα 则392113||||=++-=⋅≤⋅=→→→→x x y βαβα当且仅当3221,xx+=-→→同向时，即βα]1,2[131-∈=⇒x 时，等号成立即39max =y ，而32}32,33min{)}2(),1(min{min ===f f y ]39,32[值域为∴【举一反三】求函数x x y 434133-++=的值域解二：222222)1(14)1(1+-++=+-++=x x x x y令)2,1(),1,(x x -==→→βα则10|)3,1(|||||||==+≥+=→→→→βαβαy当且仅当310120211,=⇒=+-⇒=-⇒→→x x x x x 同向时等号成立βα此时)2,32(),1,31(==→→βα),10[+∞⇒值域为例40．求函数求函数52122+--+=x x x y 的最小值解二：2222222)1(14)1(1+--+=+--+=x x x x y（1）令)2,1(),1,(x x -==→→βα则10|)3,1(|||||||||||==+≤-=→→→→βαβαy 当且仅当解310120211,=⇒=+-⇒=-⇒→→x x x x x 异向时等号成立βα此时)2,32(),1,31(==→→βα同向、→→⇒βα⇒舍去 （2）令2|)1,1(|||||||||||),2,1(),1,(==+≤-=-=-=→→→→→→βαβαβαy x x 则当且仅当112-=⇒+-=→→x x x 异向取等，即、βα 此时22222||||)2,2(),1,1(min -=⇒-=-=-=⇒⇒=--=→→→→→→y y βαβαβα异向、十六.坐标法：把研究的对象置于直角坐标系下，把点转化为坐标，把条件转化为代数式，把曲线转化为方程，将几何问题转化为代数问题使之能进行代数运算；或用坐标内的几何直观研究代数问题，这样的一种通过坐标使“数”和“形”相互转化研究问题的方法。