2018年广东省高考理科数学 第一次模拟考试试题与答案（ 满分150分，时长120分钟）说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1. 若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合M N U 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2. 在复平面内，复数21ii-+（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 下列说法中不．正确．．的个数是 ①“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件； ②命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,cos 1x R x ∃∈≥”； ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真． A. 3 B. 2 C. 1 D. 5 4. 如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．4 B ．2 C ．43 D ．235．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．2015 D ．2016 6. 设,6.0log ,4.0log ,2.0log 3.02.01.0===c b a 则A. a>c>bB. a>b>cC.b>c>aD.c>b>a 7. 执行如图所示程序框图,则输出的S =A.-2012B. 2012C. -2013D. 20138. 若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02且y x z +=2的最小值为4,则实数b 的值为A. 1B. 2C.3D. 25 9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A.()2x f x =B.()sin f x x x =C. 1()f x x=D.x x x f -=)( 10. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3πθ+=A ．343--B ．433--C ．343-D ．433- 11. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有A ．28个B ．21个C ．35个D ．56个12. 已知函数2,0,()4,0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(4,)+∞ B ．(,4]-∞ C ．[4,)+∞ D ．(,4)-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分。
请将正确答案填写在横线上。
13. 各项均为正数的等差数列}{n a 中，5836a a ⋅=，则前12项和12S 的最小值为 。
14．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o，这时船与灯塔的距离 为 km 。
15. 在ABC ∆中，为BC 边上的一点，.43,2,3π=∠==ADB AD BD BC 若,2AB AC =则BD=________。
16. 对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++=Λ为{}n a 的“优值”.现在已知某数列{}n a 的“优值”12+=n Hn ，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的正整数n恒成立，则实数k 的取值范围是 。
三、解答题：本大题共7小题，共70分。
17-21为必做题，22-23为选做题。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且12n n S a =-+. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）若21log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求12111nT T T +++L . 18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，现沿对角线BD 折成二面角C BD A --，使1AC =（I ）求证：DA ⊥面ABC （II ）求二面角B CD A --的大小。
19. （本小题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知动圆P 与圆()221:381F x y ++=相切，且与圆()222:31F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究MN 和2OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值． 21. （本小题满分12分）函数()()()()2,x f x x a x b e a b R =-+∈.（Ⅰ）当0,3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若x a =是()f x 极大值点. （ⅰ）当0a =时，求b 的取值范围；（ⅱ）当a 为定值时，设123,,x x x 是()f x 的3个极值点.问：是否存在实数b ，可找到实数4x 使得1234,,,x x x x 的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b 的值及相应的4x ；若不存在，说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ＋，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m 的值．(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9参考答案：一、1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.C 二、13. 72；14. 230; 15． 2+5; 16. 167[,]73三、17. 解：（Ⅰ）由已知，有12n n S a =-+ ①，当1n =时，1112a a =-+，即11a =. （1分） 当2n ≥时，1112n n S a --=-+ ②，①-②得1122n n n n n a S S a a --=-=- ，即()122n n a a n -=≥. （3分）所以{}n a 是2为公比，1为首项的等比数列，即12n n a -=. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得21log ln 2nn n b a n +===， （6分）所以(1)122n n n T n +=+++=L . （8分） 所以12111n T T T +++L ()22221223341n n =++++⨯⨯⨯+L （9分）=111111*********n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪+⎝⎭L （10分） =1211n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭（11分） =21nn + （12分） 18. 解：（1）由已知090=∠DAB ，又1AC =，2,1==DC DA ，则有222DA AC DC +=，则AC DA ⊥，又A AC AB =⋂，则有DA ⊥面ABC（2）由（I ）DA ⊥面ABC ，则ABD CAB 平面平面⊥，又BC AC =，090=∠DAB ，取DB AB ,的中点N O ,，则直线OA ON OC ,,两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，则有)0,22,0(A ，)0,22,1(D )22,0,0(C ，，)0,22,0(-B ，则)22,22,1(=DC ，)0,0,1(=AD ，)0,2,1(=BD ，则求得ACD 平面的法向量)1,1,0(1=n ，BCD 平面的法向量)1,1,2(1-=n ，又021=⋅n n ， 则ACD 平面与BCD 平面垂直。
即二面角B CD A --的大小为2π19. 解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分（II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． ……………………6分 （III ）由已知X =0，1，2，P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2) =1012522=C C ， ∴ X 的分布列为∴ EX =0×10+1×5+2×10=5． ………………………………12分20.（II ）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴()22222332221121112112716716716m m OQ x y m m m +=+=+=+++ 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()2271642490m y my ++-=，∴121224249,716716m y y y y m m +=-=-++， ∴()()()()()222222121212121331MN x x y y my my y y m y =-+-=+-++-=+-⎡⎤⎣⎦()()22222121222256142491414716716716m m m y y y y m m m m +⎛⎫⎛⎫=++-=+---= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．∴() ()22222561171621121716mMN mmOQm++==++∴MN和2OQ的比值为一个常数，这个常数为12．21.解：（Ⅰ）当0,3a b==-时，()()()23233x xf x x x e x x e=-=-，()()()232363x xf x x x e e x x'=-+-()(3666x xe x x xe x x=-=+当(,6x∈-∞-时，()f x'<0，()f x单调递减；当()6,0x∈-时，()0f x'>，()f x单调递增；当(6x∈时，()f x'<0，()f x单调递减；当)6,x∈+∞时，()0f x'>，()f x单调递增.故函数()f x的单调递增区间为())6,0,6,-+∞，单调递减区间为((,6,6-∞-. （Ⅱ）（ⅰ）当0a=时，()()2xf x x x b e=+，()()()22x x xf x x x b e x e e x b'⎡⎤=++++⎣⎦()232xxe x b x b⎡⎤=+++⎣⎦，令()()232g x x b x b=+++，()()2238180b b b∆=+-=-+>, 故()0g x=有两根,αβ，不妨设αβ<，当α与β有一个为零时，0x a ==不是()f x 的极值点，故α与β均不为0； 当0αβ<<或0βα>>时，0x a ==是函数()f x 的极小极点，不合题意； 当0αβ<0,>时，0x a ==是函数()f x 的极大值. ∴αβ<0，即b 2<0，∴b <0.∴b 的取值范围为(,0)-∞.（ⅱ）()()()232x f x e x a x a b x b ab a '⎡⎤=-+-++--⎣⎦，令()()2132g x x a b x b ab a =+-++--， ()()2342a b b ab a ∆=-+---222229a b ab a b =++--+()()[]22218180a b a b a b =+-+++=+-+>，因此，()10g x =有两根12,x x ''， 不妨设12x x ''<，又因为x a =为极大值点， 所以()f x 的三个极值点分别为12x a x '',,，且12x a x ''<<， 则12,,x a x ''是123,,x x x 的一个排列， 其中()()2212318318a b a b a b a b x x ---+-+--++-+''①若12,,x a x ''或21,,x a x ''成等差数列即12x x a ''+=2，即3a a b 2=--也即3b a =--时有：142x a x '=+或 242x a x '=+，所以()(241231826x x a a b a b a a '=-=--+-+-=-或()(242231826x x a a b a b a a '=-=--++-+-=+；②若12,,x a x ''不成等差数列，则需：()212x a a x ''-=-或()122a x x a ''-=-， 当()212x a a x ''-=-时，242a x x '+=，于是()1233322ab a x x --∆''=+=，()33a b ∆=-++，故3a b ++<0时，()()2191170a b a b +-++-+=，913713122a b b a --++-=,=--， 此时，()()242333113242a ab a b a x x a +---++'++===+， 同理当()122a x x a ''-=-时，7132b a -=--，41132x a =+. 综上所述：当3b a =--时，426x a =±713b a +=--4113x a +=+； 当713b a -=-4113x a -=. 22.解： (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0).23．解： (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫ a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 所以a ＋2b ＋3c ≥9.。