离散系统：差分方程、离散化传递函数、 离散化状态方程
5.微分方程
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
a n y n t a n 1 y n 1 t a 1 y t a 0 y t b m x m t b m 1 x m 1 t b 1 x t b 0 x t
Gse0s
练习：一阶惯性+纯滞后
Q1Q2
Adh dt
（1）
Q0 L
对象Байду номын сангаас以用一阶微分方程式来描述,
但输入变量与输出变量之间有一段时滞τ0
Q0(t0)Q2Add th
Q2
h Rs
在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换,得
A R s s H ( s ) H ( s ) R s Q 0 ( s ) e 0 s
矩形脉冲输入，其 实就是两个方向相 反，有一定时间间 隔的阶跃输入的叠 加，即
曲线的转换（2）
根据线性系统的叠加原理
若对象的单位阶跃响应为y(t)，那么，其脉冲 响应曲线应该为：
即，根据矩形脉冲响应曲线转变为阶跃响应曲 线的原理为：
曲线的转换（3）
曲线转换步骤（1）
将时间轴以 t0为间隔， 分成n等份
练习：RC电路
ei若取为输入参数， eo为输出参数，根据基尔霍夫定律
ei iRe0
由于
i C de0
dt
消去i
RCde0 dt
e0
ei
RC电路
或
RC电路的传递函数为
T
de0 dt
e0
ei
Gs
E0s Ei s
1 Ts1
TRC
2.积分对象
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，
称为积分对象。
之比,记为
Gs
Ys Xs
拉氏变换是对函数的一种变换,定义为
Fs ftestdt 0
运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式
a n y n t a n 1 y n 1 t a 1 y t a 0 y t b m x m t b m 1 x m 1 t b 1 x t b 0 x t
第四章 被控过程的数学模型
本章主要内容
4.1 过程建模的基本概念 4.2 解析法建立过程的数学模型 4.3 实验法建立过程的数学模型
4.1过程建模的基本概念
2 基本概念
非参量模型
当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时， 称为非参量模型。
特点
缺点
形象、清晰，比较容易看出其定性的特 征
直接利用它们来进行系统的分析和设 计往往比较困难
参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参 量模型。
•静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表 示。 •动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函 数、差分方程及状态方程等
3.建模的目的
（1）设计过程控制系统和整定调节器参数 （2）指导设计生产工艺设备 （3）进行仿真试验研究 （4）故障检测诊断的指导
② 对于具有时滞的对象，当输入量开始作阶跃变化时， 其对象的输出量并未开始变化,这时要在记录纸上标出开 始施加输入作用的时刻，即反应曲线的起始点，以便计 算滞后时间。
③重复数次测量，正反阶跃输入，保证测试精度。
④阶跃信号幅度适中，调节阀开度5%～15%变化。
1.阶跃响应曲线法
被控过程数学模型 的几个参数
一阶惯性环节
dh Q1Q2 A dt
（1）
若变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比
Q2
h Rs
Rs：液阻
A
将上式代入（1）式，移项
dh ARs dt hRsQ1
令 TAsR ,KRs 则 TddthhKQ1
水箱对象的传递函数为
GsQ H1ssTKs1
一阶惯性环
节的特性
• 初始斜率为T
• t=T的时候，h = 0.632h(∞)
dh Q1Q2 A dt
（1）
Q2为常数，变化量为0，即： Q 2 = 0
（1）式变为：
Q1
A
dh dt
A
1
h A Q1dt
（2）
说明，所示贮槽具有积分特性。
阀2改为定量泵的液位过程 积分对象
h
1 A
Q1dt
（2）
在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式(2) 进行拉氏变换,则有
HsA1sQ1s
响应曲线法
通过操作调节阀，是被控过程的控制输入产生一阶跃 变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线 或者输出数据，再根据输入-输出数据，求取过程的输 入-输出之间的数学关系。
测试信号的不同
阶跃响应曲线 矩形脉冲（方波）曲线 频率特性曲线（正弦波）
在测试过程中要注意：
① 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳 定一段时间，不然会影响测试结果的准确度。
举例 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描
述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
TytytK xt
对于一阶对象,两端取拉氏变换,得
Ts s Y Y s KsX
因此一阶对象的传递函数形式为
Gs K
Ts1
7.
分类 数学模型建立的途径不同
机理建模 实测建模 混合模型
机理模型——从机理出发,即从对象内在的物理和化学
数学模型
❖ 过程在输入量（包括控制量和扰动量）作用下，其输 出量（被控量）随输入量变化的数学函数关系表达式。
❖ 被控过程输入量与输出量之间的信号联系称为通道。
❖控制通道：控制作用与被控变量之间的信号联系通道。 ❖扰动通道：扰动作用与被控变量之间的信号联系通道。
常用的数学模型有哪些？
连续系统：微分方程、传递函数、状态方程
被控过程数学模型 的几个参数
• 时间常数T ：
–指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如 果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需 的时间。或：
–当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到 新的稳态值的63.2%所需时间。
• 反映被控变量变化快慢的一个重要动态 参数。
被控过程数学模型 的几个参数
定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能 立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现 象。
• 滞后时间τ：
– 是纯滞后时间τ0和容量滞后τC的总和。 • 纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递 需要一段时间引起的。 • 容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过 一定的阻力而引起的。
• 滞后时间τ是反映对象动态特性的另一个重要 参数。
在容量滞后与纯滞后同 时存在时，常常把两者 合起来统称滞后时间τ， 即τ＝τ0＋τc。
• K=Rs，随着h的升高， 液阻加大，导致K增 大
• T=RsA，h升高时， Rs加大，导致T也增 大
• A截面积，截面积增 大，则容量增大，系 统响应越慢
其它单容 对象
• 电加热炉
其它单容 对象
• 压力对象
解析法建模的一般步骤
1、明确过程的输入变量、输出变量和其他中间变量； 2、依据过程的内在机理和有关定理以及公式列写静态 方程和动态方程； 3、消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4、化简成控制要求的形式。
滞后时间τ示意图
注意
自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在设 计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。
T0
T1
T2 2
2.方波（矩形脉冲）响应曲线法
❖ 矩形脉冲响应实验，是给对象加一个外部矩形脉 冲输入，然后测定对象的响应曲线，根据曲线进 行对象的建模；
❖ 建模步骤：
• 动态物料（或能量）平衡关系：单位时间内进 入被控过程的物料（或能量）减去单位时间内 从被控过程流出的物料（或能量）等于被控过 程内物料（或能量）存储量的变化率。
4.2 解析法建立过程的数学模型（机理建模）
1.单容过程的解析法建模
依据：动态平衡关系
A
对象物料蓄存量的变化率 ＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物料
曲线转换步骤（2）
在0—t0时间段 内，y*(t)应该 与y(t)重合； 在t0—2t0之间， 画出-y(t-t0)， 其形状，应该与 y(t)一致；
曲线转换步骤（3）
在t0—2t0之 间，将y*(t) 与y(t-t0)进 行叠加；
曲线转换步骤（4）
在2t0—3t之 间，反方向 画出-y(t-t0)， 其形状，应 该与y(t)一致；
4.数学模型及描述方法
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器
和执行器组成。
研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入 量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称为 对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变量 变化的因素。
几个概念
对象的输入、输出量
通道 控制通道
？
干扰通道
曲线转换步骤（5）
以后重复 最终得到 y(t)曲线
例题分析
某温度计是一静态放大系数为1的一阶环节。当温度计由温 度为 0℃的地方突然插入温度为100℃的沸水中，经1min后, 温度指示值达到98.5℃。试确定该温度计的时间常数T,并写 出其相应的微分方程式与传递函数。
解：已知 K= 1，输入阶跃幅值为100℃， t= 60s时，其温度
• 放大系数K：
– 在数值上等于对象处于稳定状态时输出变化 量与输入变化量之比：
输出的变化量 K 输入的变化量
–放大系数是描述对象静态特性的参数。
放大系数（静 态增益）
• 例如：单容水槽，当调节阀开度从25% 加大到45%，水槽液位从20%升高到50%， 求：对象的放大系数（静态增益）
• 解：