2、 无限深势阱
波函数 =0
V(X)=0,
波函数 =0
Ⅱ区粒子满足的薛定谔方程为： 其解为：
其中：
X=0: X=a:
Ka=nπ时上式成立，其中n为正整数，n=1,2, 3…。 n 为主量子数。 有
有
波函数必须连续 （边界条件）
最终，可得与时间无关的波的表达式
该结果是一个驻波表达式，说明无限深势阱中粒子 的运动是驻波。
同时，他却敏锐注意到“two small, puz zling clouds remained on the horizo
n”。这“两朵地平线上的乌云”，
第一朵乌云出现在光的波动理论上， 第二朵乌云出现在关于能量均分的麦克斯韦玻尔兹曼理论上
一、量子力学基本原理
1、能量量子化原理 2、波粒二象性原理 3、不确定性原理
感兴趣的： 在一维单晶材料中电子 的能量状态及特征
1、0<x<a v(x) =0
2、-b<x<0 v(x)=v
0
系数A、B、C、D可由边界条件建立关系式： 当且仅当其系数行列式为零时方程有非零解。
其结果为：
进一步简化：
其中
注意：上式并不是薛定谔波动方程的解，但 却给出了薛定谔波动方程有一个解的条件。
第一章 半导体中电子状态
(二)量子力学初步
世纪之交的1900年，经典物理学 辉煌的大厦已近完成。物理学泰斗开尔 文爵士在物理学大会的演讲中宣布：“T here is nothing new to be discovered
in physics now. All that remains is m
ore and more precise measurement.”，
爱因斯坦
“提出一个问题往往比解决一个问 题重要。因为解决一个问题也许仅仅 是一个数学或实验上的技能而已，而 提出新的问题，却需要创造性的想象 力，而且标志着科学的真正进步。”
二、薛定谔波动方程
一维非相对论的薛定谔波动方程
上式的解为：
是一个与时间无关的函数
边界条件
三、薛定谔波动方程的应用
是不连续的假设，即量子的提出；E=hν 1905年Einstein提出了光波也是由分立的粒子组
成的假设；这种粒子化的能量叫光子， E=hν
※ 波粒二象性（Wave-Particle Duality）
▲1924年de Broglie提出了存在物质波的假设 光子的动量：P=h/λ 德布罗意波长： λ=h/p
再考虑价带顶的电子 f=m n*a=-q E n
然而价带顶电子的有效质量m n*是负值，所以有
f=-
｜
m
* n
｜
a=-q
E
a=-q
E/-｜
m
* n
｜=
q
E/｜
m
* n
｜
= q E/空m穴的有效质量
4.5 导体、半导体、绝缘体
（a）绝缘体（宽禁带）；（b）半导体（窄禁带）； （c）金属（窄禁带，导带部分填充）；（d）金属 （能带图重叠）阴影代表能带填充
﹛
无限深势阱中粒子的波函数为：
K是分立的，相应的粒子的能量也只能是分立值。这 个结论意味着粒子能量的量子化，也就是说，粒子 的能量只能是特定的分立值。
（a）前四级能量 （b）对应的波函数 （c）对应的概率函数
注意：随着能量的增加，在任意给定坐标值出发现粒子的概率会 渐趋一致。
第一章 半导体中电子状态
第一章 半导体中电子状态
(四) 有效质量、空穴
4.1 有效质量
--当半导体上存在外加电场的时候，需要考虑电子 同时在周期性势场中和外电场中的运动规律
有效质量
4.2 有效质量的数学推导
4.2子有效质量 mn* 后，半导体中电子所受的外力与加速 度的关系和牛顿第二运动定律相似，即有效质量代换电子惯性
质量m0。
有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，是的在 解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到 半导体内部势场的作用。特别是mn*可以直接由实验测定，因 而可以很方便地解决电子的运动规律。
4.4 空穴
空穴
4.4 空穴
4.4 空穴
4.4 空穴
考虑导带底的电子 f=m n*a=-q E a=-q E/ m *
1、 自由空间中的电子
与位置有关的函数为：
而与时间有关的函数为： 整个波动方程的结果是：
该结果是一个行波，说明自由空间中的粒子运动表 现为行波。
假设某一时刻，有一个沿+x方向运动的粒子，则系 数B为0，则该行波的表达式可写为：
其中k为波数
加上方向，k为波矢
概率密度函数
与坐标无关
可以说明：具有明确动量定义的自由粒子在空间任 意位置出现的概率相等，这个结论与海森堡的不确 定原理是一致的，即准确的动量对应不确定的位置。
感谢下 载
※ 能量量子化（Energy Quanta）
▲光电效应实验 在恒定光强的照射下，光电 子的最大动能随着光频率呈线性变化；低于某极限 频率将不会产生光电子。
▲经典物理学 只要光的强度足够大，电子就可 以克服材料的功函数从表面发射出去，而该过程与 照射光的频率无关；
▲量子力学 1900年Plank提出了加热物理表面发出的热辐射
▲1927年Davisson and Germer 实验证明了电子 的波动性。
※ 不确定原理（The Uncertainty Principle）
▲1927年Heisenberg 提出不确定原理 共轭变量：粒子的坐标与动量、能量与时间； 不确定关系式：
既然不确定原理的一个结论是无法确定一个电子的 准确坐标，我们就将其替代为确定某个坐标位置可 能发现电子的概率； 概率密度函数
进一步理解薛定谔方程的本质 * V0=0
V0=0
自由粒子的E-k关系抛物线曲
* V0=定值
V0 Pˊ 设
感兴趣的： 在一维单晶 材料中电子 的能量状态 及特征，并 不关心波函 数具体的表 达式
2、 允带与禁带
允带 允带 允带
3、 导带与价带
（a）导带电子、价带 电子
（b）导带电子、价带电子在能 带结构中所处位置示意图
(三)固体量子力学初步
1、 一维单晶材料中的电子 （a）独立的单原子势函数
（b）近距原子交叠的势函数
（c）一维单晶的最终势函数
克龙尼克—潘纳模型的一维周期性势函数
与时间有关的函数为： 与位置有关的函数为：
周期为a+b
布洛赫函数
波动函数的全解=与时间有关的×与位置有关的 上式意义：一个被调幅的行波