二项式定理测试题及答案n 能使(n+i) 4成为整数(B )C.2D.3A A ； L LA ；J°，则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和xA. 15 个B. 33 个C. 17 个D. 16 个是(C ) A.28 B.38C.1 或38D.1 或 285.在(235)100的展开式中，有理项的个数是(6.在、x 13x24的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有(CB . 4项 -x)6的展开式中，含、5 A. 3项 7•在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C& (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==，则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x 的项的系数是(C 、一10B.、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7B. 12C. 14D . 511.设函数 f(x) (1 2x)10,则导函数 2f (x)的展开式x项的系数为(C)A. 1440 B .-1440C.-2880D.288012 .在(x 1 5-I)5 x '的展开式中，常数项为( B )(A ) 51 (B) -51(C )- ii (D ) ii13 .若(xnn1) xL3.2.ax bx L1(n N )，且 a:b3:1，则n 的值为(C )A. 9B . 10C . ii D. 1214 .若多项式x 210x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9a i0(x i)i0, 则 a 9( )(A ) 9(B ) 10(C )9 (D )1010.二项式 n 的最小值为()A 解：根据左边1,易知aio10X 的系数为 1，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为1 3)n的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x 31.有多少个整数 A.0B.12. 2 4展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1B.0C.1D.23•若 S =A 1 4.已知(x(2x 4a akC ioa910 0，••• 3910故选 °15•若x(1+x) n 的展开式中的每项的系数都用这一项的 x 的指数去除，则得到的新系数和等于(A )A.(2 n+1-1) / (n+1)B.(2 n -1) / (n+1)C.(2 n-1+ n-2)/(n+1)D.(n • 2n +1)/(n+1)16.设a 、b 、m 为整数(m>0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称 a 和b 对模m 同余.记为 a = b(mod m).已知 a=1+c 20 +C 20 • 2+C》0 ・22+…+c [0 ・219, b = a(mod 10)，则是(B ) A.2015B.2011C.2008D.200617.若二项式严xx)6展开式的常数项为20，则 值为( B )A. 2k—(k Z)B. 2k-(k z) C.D. —222218. 53 10被8除的余数是( A)A 1B、2C、3 D 、719已知 x 2 i ，设 M1 C ：x 小22C 4X小3 3C 4X小44C 4 x则M 的值为(B )A 4B -4iC 4i D20. 数(1 . 05)6的计算结果精确到 0. 01的近似值是 .................... ( C )A 1.23B . 1.24C . 1.33D .1.4421. (x+1)(2x+1)(3x+1) …(nx+1)的展开式中，x 的系数是 ................. (B )Ac n 1 B .C ： C . C 2 1 D . C 2 1二.填空题20、 已知 3C ： ； 5A ； 4 ,则 x= ______ 11 ____________421、 (x-1 ) ( x+2) (x-5 ) ( x+7) (x-10 )中 x 的系数为 _______ -7 ________ 22、 若对任意实数 x, y 都有 x 2y 5 a 0 x 2y 5 a , x 2y 4y a 2 x 2y 3y 2 a 3 x 2y 2y 3是-192a 1 a 2 a 3 a^ a^ 的值等于 0 . _________25、(x -.2 ) 2006的二项展开式中，含 x 的奇次幕的所有项的和为S ,当x 2时，S 等于—26设二项式(33 x】)n 的展开式的各项系数之和为P ,所有二项式系数之和为 S,若xb 的值可以a 4 x 2y y 4a 5y 5，则a 0 a 1 a 2 a 3a 4a 5-24323 设 a 为 sin x 3 cosxR 的最大值，则二项式1 6^=)展开式中含x 2项的系数24知等式(1 2、3 2、4x ) (1 2x ) a 。
a/ a ?xa 14 x 成P+S=272 则 n= . 三•解答题27、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜， 若要保证每位顾客有 200种以上不同选择，则餐厅至少还 需准备不同的素菜品种？(要求写出必要的解答过程)解：在5种不同的荤菜中取出 2种的选择方式应有 C ；Cx C 5 200 解得 x 7，28、已知(3 x x 1 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x 1)n 的展开式的系数和大992,求1(2x)2n 的展开式中：①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项. x解：(1)n=5,— 8064(2)— 15360X 4解：由题意22n 2n 992,解得n 5。
①(2x -)10的展开式中第6项的二项式系数最大，x即 T 6 T 51 C ；0 (2X )5 ( -)58064.x②设第r 1项的系数的绝对值最大， 则T r 1 C1r(2x)10 r /(1)r ( 1)r C ；0 210 r x10 2rxC 10 210 rC ：。
110 r 1 rr 1 2 C102C10 "「得11 r 2r 即C 10 ?10 rC ：。
110 r 1 rr 12 2C10C102(r 1) 10 r...8 r 11 . r 3, 故系数的绝对值最大的是第 4项.33，29、(12分)在二项式(3x 丄)n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列2农(1)求展开式的常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中各项的系数和。
n 2r解：展开式的通项为T r 1(丄)r c n x 3 , r=0, 1, 2，…，n100 1 1 122 1 1 1 2 由已知：(2)C n , (~)C n , (~) C n 成等差数列，二 2 ~C n 1 ~ C n ."=8A30.已知('•. x 24)n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列i21 n2 1 21c n 1,C ； 2 护：(2)2gn (n 1).1求展开式中所有的 x 的有理项;2 求展开式中系数最大的项 • 解：(1)展开式前三项的系数分别为10种，设素菜为x 种，则(1 ) T 5358 (2) T 5二项式系数最大 (3)令x=1，各项系数和为1 256n1由题设可知：21 — n(n 1)2 8解得：n = 8或门=1 (舍去).L4 3r当仆 8 时，T r 1C8c.x)8 r (2 4 x) r = c 8 2 r x 4 .3据题意，4 — 3r 必为整数，从而可知 r 必为4的倍数，4而 o w r < 8 ,••• r = o,4, 8.35 1 故x 的有理项为：T 1 X 4, T 5—x , T 9——X 2.8 256(2)设第r + 1项的系数t r 1最大，显然t r 1> 0,故有g > 1且^2 w 1.trtr 1..= C ； 2 r9 r■ _ C 8 1 2 r 1 百，9 r 由 9— > 1，得 r w 3. 2r...J = C ； 1 2 r 12(r 1),t r 1C 8r 2 r 8 r ' 由2(r 1)w 1,得 r >2.8 r57•- r = 2或r = 3,所求项分别为T 3 7x^和T 47x 4.31、 (12分)已知m,n 是正整数，f(x) (1 x)m (1 x)n 的展开式中x 的系数为7, (1) 试求f (x)中的x 2的系数的最小值；9(2) 对于使f(x)的x 2的系数为最小的 m,n ,求出此时x 3的系数；5(3)对于使f(x)的x 2的系数为最小的 m,n,求此时f(0.003)的近似值(精确到0.01 )； 2.0231 n 32、 已知(x 3+ 2)n 展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含 x 项；x(2)C 0n - 1 C\+ 1 C 2n - 1 C^ …+(-1) " •丄 C\ 的值.2 48 2n133.在二项式(ax m +bx n ) 12 (a >0, b > 0, m n z 0)中有 2m +n =0,如果它的展开式里最大 系数项恰是常数项.(1 )求它是第几项；(2)求-的最值. b解：(1 )设 T r 1=C ；2 (ax ") 12-r (bx n ) r =C ；2a 12_r b r x m( 12_r )+nr 为常数项，则有 m( 12-r ) +nr =0,即m( 12 — r )— 2mr =0,「. r =4,它是第 5 项.(2)v 第5项又是系数最大的项， C 2 a 8b 4 > C ：2 a 9b 3 ①.••有-C ：2 a 8b 4> C 2 a 7b 5②4 3 2••• a >0, b >0,• - b > a ,即 a < -4 b由②得 a > 8 ,.•• 8 < a < 9 .b 55 b故a 的最大值、最小值分别为 b被64整除.当k > 2时，()式能被64整除.•n 为偶数时，S n 4n 1能被64整除.例4.已知二项式(..x $)n , (n € N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的x比是10: 1,(1)求展开式中各项的系数和(2 )求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：(1 )•••第5项的系数与第3项的系数的比是10: 1 ,答案.(1)210 ,⑵102412 11 10 9 8-4、12 11 10 9-3 由①得ab >a b , 3 29 4 *35.已知 02n C n 2n 1C 22n 2C ： 12 1(n N )，求证：当n 为偶数时，S n 4n 1能证明：S n (21)n 3n , T n 为偶数，设n 2k(k••• Sn 4nk1 9 8k 1(81)k8k 2 k 3k 2、品(C k 8 C k 8L C k )・8 ,当 k 1 时，9k 8k 10，显然Sn 4n 1能被64整除;4 4C( 2)4 10• C 2 10，解得 n=8C n (2)2 1 令x=1得到展开式中各项的系数和为 （1-2） 8=1⑵ 展开式中第r 项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为 r C8 若第1 nr r r r 1 r 12 ，C8 2，C8 2， r+1项的系数绝对值最大，则必须满足: r C8r 1 cr 18 1 n r r r r 1 r 1 r r 2 w C 8 2 并且 C 8 2 w C8 2 ,解得 5W r < 6; 1 1所以系数最大的项为 T 7=1792 百；二项式系数最大的项为T 5=11206x x。