(n n n一、选择题1二项式定理单元测试题（人教 B 选修 2-3）1. 设二项式(33 x ＋ x )n 的展开式的各项系数的和为 P ，所有二项式系数的和为 S ，若P ＋S ＝272，则 n ＝()A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A1 2.x )n 的展开式中，常数项为 15，则 n 等于()x 2＋A ．3B ．4C ．5D ．61－ 解析： ∵T r ＋1＝C r (x 2)n －r x )r＝(－1)r C r x2n －3r ， 又常数项为 15，∴2n －3r ＝0，2即 r ＝3n 时，(－1)r C r ＝15， ∴n ＝6.故选 D. 答案： D3．(1＋2 x )3(1－3x )5 的展开式中 x 的系数是()A ．－4B ．－2C ．2D ．4131245解析： (1＋2 系数是－10＋12＝2.答案： Cx )3(1－3x )5＝(1＋6x 2＋12x ＋8x 2)(1－5x 3＋10x 3－10x ＋5x 3－x 3)，x 的－ 4． 在 21526 的二项展开式中，x 2 的系数为( )15 A ．－4 3C ．－8B. 4 3 D.8x (x －6 6( 2)1解析： 该二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 2 6－r · r ＝(－1)r C r ·26－2r ·x 3－r . 令 3－r ＝2，得 r ＝1. 1 3∴T 2＝－6×24x 2＝－8x 2. 答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333 除以 9 的余数是( )A ．7B ．0C ．－1D ．－2解析： 原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)． 答案： A6．已知 C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则 C n 1＋C n 3＋C n 5 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则 a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( )A ．32B ．－32C ．－33D ．－31解析： 令 x ＝0，得 a 0＝1；令 x ＝－1，得 a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243，不含 y 的项的系数绝对值的和为 32，则 a ，b ，n 的值可能为()A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析： 令 x ＝0，y ＝1 得(1＋b )n ＝243，124x 1020 2020 20 20)6 6 6 令 y ＝0，x ＝1 得(1＋a )n ＝32，将选项 A 、B 、C 、D 代入检验知 D 正确，其余均不正确．故 选 D.答案： D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)9．若(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x 2 004(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3) ＋…＋(a 0＋a 2 004)＝.(用数字作答)解析： 在(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x 2 004 中，令 x ＝0，则 a 0＝1， 令 x ＝1，则 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 004＝(－1)2 004＝1， 故(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 004) ＝2 003a 0＋a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 004 ＝2 004. 答案： 2 00410．若多项式 x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则 a 9＝.解析： x 3＋x 10＝(x ＋1－1)3＋(x ＋1－1)10 ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10∴(x ＋1)9 项的系数为 C 1(x ＋1)9(－1)1＝－10(x ＋1)9 ∴a 9＝－10. 答案： －1011．(1－ x )20 的二项展开式中，x 的系数与x 9 的系数之差为 ．r解析： (1－ rx )20 的二项展开式的通项公式 T r ＋1＝C r (－ rx )r ＝C r ·(－1)r ·x 2， 令 2＝1，∴x 的系数为 C 2(－1)2＝190.令2＝9，∴x 9 的系数为 C 18(－1)18＝C 2＝190，故 x 的系数与 x 9 的系数之差为 0.答案： 012. 若(x －ax 2 6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为 ．(x －a)解析： T r ＋1＝C r x 6－r (－ a )r x －2r ＝C r (－ a) r x 6－3r ，∴令 r ＝2 得 x 2 6 的常数项为C 2a ，∴ 令 C 2a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)(x － )13. 已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，68 m n m nm n m n ( )(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．1 1解析： 由题意：2C 1·2＝1＋C 2·(2)2，即 n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1 舍去)， n ( 1 ) (n1) 8－r r∴T r ＋1 ＝C r ( C8r －x) 8－r · r ＝ 16－3r－ 2 r ·C r x 2 ·x 4＝(－1)r 2r ·x 4 (0≤r ≤8，r ∈Z ) 16－3r(1) 若 T r ＋1 是常数项，则4 ＝0，即 16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项；16－3r(2) 若 T r ＋1 是有理项，当且仅当∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，4 为整数，35即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝ 8 x ， 1T 9＝256x －2.14．求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001.解析： 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项可以忽略不计，即 0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10 分)已知 f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含 x 项的系数为 36， 求展开式中含 x 2 项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含 x 的项为 C 1·2x ＋C 1·4x ＝(2C 1＋4C 1)x ， ∴2C 1＋4C 1＝36， 即 m ＋2n ＝18， (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含 x 2 的项的系数为t ＝C 222＋C242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 37 153 n 2－ n ＋＝164 4 ， 24x 81111 1111 11 11 7 1111 11 11 1137∴当 n ＝ 8 时，t 取最小值，但 n ∈N *，∴n ＝5 时，t 即 x 2 项的系数最小，最小值为 272， 此时 n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11 的展开式中，求(1)通项 T r ＋1；(2) 二项式系数最大的项； (3) 项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C r x 11－r y r ； (2) 二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 5x 6y 5， T 7＝C 6x 5y 6； (3) 项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T 6＝－C 5x 6y 5，T ＝C 6x 5y 6； (4) 因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第 7 项为正，故 T 7＝C 6x 5y 6； (5) 项的系数最小的项为 T 6＝－C 5x 6y 5；(6)二项式系数的和为 C 0＋C 1＋C 2＋…＋C 11＝211； (7)各项系数的和为(1－1)11＝0. 17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和． 解析： (1)令 x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令 x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 59－1将两式相加，可得 a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝ 2 ， 即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|9 9 9 9 9 ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令 x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9 展开式中各项系数和，令 x ＝1，y ＝1 得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为：C 90＋C 2＋…＋C 8＝28.偶数项二项式系数和为：C 1＋C 3＋…＋C 9＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求 n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令 x ＝1，则 2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，2(1－2n )∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ 1－2 －a 0－a n ＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3， ∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.。