a1n ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ b2 n ⎟ ⎜ 0 → ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ bmn ⎠ ⎝ 0
∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 1 0 0
b12 b22 bm 2 ∗ ∗ ∗ 0 0
b1n ⎞ ⎟ b2 n ⎟ ⎟ ⎟ bmn ⎠ ∗⎞ ⎟ ∗⎟ ⎟ ⎟ ∗⎟=B 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
1 0 0 0
b12 1 0 0
a1n a2 n amn
b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ ⎟ ⎟ bm ⎠
a11 a12 a1n a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a21 a22 a2 n a21 a22 a2 n ⎟ 称为矩阵A 则 若 A=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a n1 a n 2 ann ann ⎠ ⎝ an1 an 2 的行列式，记为 A 。注意行列式与矩阵在形式和本质的区别。
第三章 线性方程组
三、矩阵的规范形与线性方程组的解
对方程组进行初等变换其实质就是对方程组中未知量系 和常数项组成的增广矩阵 A 进行相应的初等变换。 由定理3.1.1知，对增广矩阵进行行初等变换所得矩阵， 对应的方程组与原方程组同 问题： 一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形
第三章 线性方程组
道此时方程组是有解，还是无解。 当 m ≠ n 时， Cramer法则失效，我们也不知方程组有没 是解，更没有解此方程组（1）的有效方 因此有必要研究一般线性方程组（1）的 下面用加减消元法解三元一次线性方程
第三章 线性方程组
例3.1.1 解方程组： ⎧ 2 x1 − x2 + 3 x3 = 1 ⎪ ⎨4 x1 + 2 x2 + 5 x3 = 4 ⎪ 2x + 2 x3 = 6 ⎩ 1
−3 −6 7 0
3
2
0⎞ ⎟ 16 −12 1 ⎟ 0 0 5⎟ ⎠ 5
对矩阵A，进一步通过行初等变换，可把矩阵：
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 A= ⎜ ⎜ ⎝ am 1 am 2
a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ ⎟ ⎟ amn ⎠
c1r +1 c2 r + 1 crr +1 0 0 c1n ⎞ ⎟ c2 n ⎟ ⎟ ⎟ ctn ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
定理3.1.2 一个 m × n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 变换可化为如下阶梯形
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ B=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 1 0 0 0 ∗ 1 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗⎞ ⎟ ∗⎟ ⎟ ⎟ ∗⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
}
r行
这里 0 ≤ r ≤ min{m , n}; * 表示在矩阵中无须明白写出的元素， 不同位置上的 ∗ 表示的元素未必相等。 证明：若A=0，则A已成阶梯形。 若 A ≠ 0, 则A至少有一个元素不为0，不妨设 a11 ≠ 0, 否 则，可设 aij ≠ 0, 我们可经行、列变换，使 aij 位于左上角。
乘第1行和第3行得：
+ x3 = 3 ⎧ x1 ⎪ x2 − x3 = 5 ⎨ ⎪ x3 = −6 ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
把第3个方程分别乘以 −1, 1加到第1、2个方程得：
⎛1 0 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 −1 5 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 1 −6 ⎟ ⎝ ⎠
分别把把第3行乘以 −1, 1加到第1、2行得：
第三章 线性方程组
⎧ 2 x1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
把第2个方程与第3 方程互换位置得：
把第2行与第3行互换位置
+ 2 x3 = 6 3 x3 = −18
x2 − x3 = 5
分别把第1个方程和第3个 方程乘以 1/ 2 和 1/ 3 得：
6 ⎞ ⎛2 0 2 ⎜ ⎟ 0 1 −1 5 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 3 −18 ⎟ ⎝ ⎠ 分别用 1/ 2 和 1/ 3
第三章 线性方程组
− −a111ai 1 , i = 2, 3, , m 加到第i行，则A化为 把第一行分别乘以 a1n ⎞ a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a21 a22 a2 n ⎟ b2 n ⎟ 0 b22 ⎯⎯ ⎜ → = A1 A=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ amn ⎠ bmn ⎠ ⎝ am 1 am 2 ⎝ 0 bm 2 − 用 a111 乘第一行得： b1n ⎞ ⎛ 1 b12 ⎜ ⎟ b2 n ⎟ 0 b22 A1 ⎯⎯ A2 = ⎜ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ bmn ⎠ ⎝ 0 bm 2
⎛ b22 ⎜ 对 A2 中的右下角矩阵 ⎜ ⎜b ⎝ m2
第三章 线性方程组
b2 n ⎞ ⎟ ⎟ 类似考虑，若其为0， bmn ⎟ ⎠
−1 则结论成立；若其不为0，不妨设 b22 ≠ 0, 用 − b22 bi 2 , i = 3, , m −1 乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用 −b22 乘第二行得： b1n ⎞ ⎛ 1 b12 b13 b1n ⎞ ⎛ 1 b12 ⎜ ⎟ 0 b22 b23 b2 n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 b22 b2 n ⎟ A2 = ⎜ c3 n ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 0 c33 → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ bmn ⎠ ⎝ 0 bm 2 ⎜0 0 c cmn ⎟ m3 ⎝ ⎠ b1n ⎞ ⎛ 1 b12 b13 ⎜ ⎟ 0 1 c23 c2 n ⎟ ⎜ c3 n ⎟ = A3 ⎯⎯ ⎜ 0 0 c33 → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 c cmn ⎟ m3 ⎝ ⎠
第三章 线性方程组
把方程组(1)的未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称 由方程组未知量系数和常数组成 方程组的系数矩阵，记为 矩阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 。对方程组
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 A= ⎜ ⎜ ⎝ am 1 am 2 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎟ ⎜ a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 , A= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ amn ⎠ ⎝ am 1 am 2
化为如下的规范形矩阵：
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ C =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
第三章 线性方程组
7 ⎞ r + ( −5) r ⎛ 0 r + ( −2) r ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 →⎜ 1⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 0⎠ 0⎞ ⎛1 ⎟ r + ( −1) r 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 →⎜ ⎜0 7⎟ ⎝ ⎠
1 2 3 3
14 32 −24 7 ⎞ ⎟ 7 16 −12 1 ⎟ −3 −6 5 0 ⎟ ⎠
( )
行下标，j称为元素 aij 所在列的列下标。
n 当m=n时， × n 矩阵亦称为方阵。
第三章 线性方程组
定义3.1.2 以下三种变换称为矩阵的初等变 1、用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列） 称为矩阵的消法变 2、用一个非零数乘矩阵的某一行（列），称为倍法变 3、交换矩阵中某两行（列）的位置，称为换法变 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由 程组未知量系数和常数项所排成的矩阵进行初等变换的过 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决 下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否 原方程组同解。我们 定理3.1.1 方程组的初等变换把线性方程组变为一个与它 与它同解的线性方程
如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。即有：
第三章 线性方程组
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 A= ⎜ ⎜ ⎝ a n1 a n 2
⎛ ⎜ ⎜ →⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎟ ⎜ a2 n ⎟ ⎜ 0 b22 → ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ann ⎠ ⎝ 0 bm 2
⎛ b1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ c2 n ⎟ ⎜ c3 n ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cmn ⎟ ⎜ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 ∗ 1 0 0 0
§3.1 线性方程组的 矩阵解
§3.1
线性方程组的矩阵解
研究问题： 一、用消元法解线性方程组 二、矩阵和矩阵的初等变换 三、矩阵的规范形与线性方程组的解
第三章 线性方程组
一、消元法与矩阵的初等变换
⎧ a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ⎪ a x +a x + +a x =b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 —（1） 对一般线性方程 ⎨ ⎪ ⎪ am 1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm ⎩ 当 m = n, 且系数行列式 D ≠ 0 时，方程组（1）有唯一解， 其解由Cramer法则给出。但若系数行列式 D = 0, 我们无法知
把第3个方程分别乘以−4 、 1加到第2个、1个方程得：
⎛ 2 −1 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 4 −1 2 ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠
把第3行分别乘以 −4 、 1加到第2、1行得：
⎧ 2 x1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
+ 2 x3 = 6 3 x3 = −18 x2 − x 3 = 5
6 ⎞ ⎛2 0 2 ⎜ ⎟ 0 0 3 −18 ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠
第三章 线性方程组
二、矩阵和矩阵的初等变换
定义3.1.1 数域 F 上 m × n 个元素排成如下形式的表： a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a21 a22 a2 n ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ amn ⎠ ⎝ am 1 am 2 称为数域 F 上m行n列矩阵，简称 m × n 阶矩阵，记为 Am×n , 或 aij m×n。其中 aij 称为矩阵的元素，i称为元素 aij 所在行的
b13 c23 c33 cm 3
A ⎯⎯ B →
第三章 线性方程组
⎧ 2 x1 − x2 + 3 x3 = 1 ⎪ 例3.1.2 解方程组 ⎨ 4 x1 − 2 x2 + 5 x3 = 4 ⎪ 2 x − x + 4 x = −1 2 3 ⎩ 1 ⎛ 2 −1 3 1 ⎞ r2 + ( −2) r1 ⎛ 2 −1 3 1 ⎞ 解： A = ⎜ 4 −2 5 4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 0 −1 2 ⎟ r3 + ( −1) r1 →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 −2 ⎟ ⎜ 2 −1 4 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −1 2 0 7 2⎞ ⎛ 2 −1 0 7 ⎞ 1 r1 r1 + 3 r2 2 ⎟ ( −1) r2 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 r3 + r2 0 1 −2 ⎟ →⎜ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 0 −1 2 ⎟ → ⎜0 ⎜ 0 0 0 0⎟ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 7 ⎧ x − x = 原方程组与方程组 ⎪ 1 2 2 2 同解。 ⎨ ⎪ x3 = −2 ⎩ 1 7 ⎧ x = x + 故原方程的一般解是 ⎪ 1 2 2 2 , x2 是自由未知量。 ⎨ ⎪ 第三章 线性方程组 ⎩ x3 = −2