2018年浦东新区高考数学二模含答案 2018．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1.21lim 1n n n →+∞+=-________ .2 2.不等式01xx <-的解集为________.(0,1)3.已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.114.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.35.91)x二项展开式中的常数项为________.846.椭圆2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)7.满足约束条件2423x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为________.1638.函数2()cos 2,R f x x x x =+∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。

当水面下降1米后，水面的宽为_____米。

10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四面体的体积为________.1311.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上存在1m +个实数012,,,,m a a a a L 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++L 成立，则m 的最大值为________.6二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．13.已知方程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（ ）AA ．B ． C.D ． 14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；相应的在向量运算中，下列式子：（1）a b a b +≤+r r r r ，（2）a b a b ⋅=⋅r r r r，（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r；正确的个数是（ ）BA ． 0B ．1 C. 2 D ．315.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）AA ．充分条件B ．必要条件C.充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件16.设,P Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足： （1）{}()|Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <；那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”。

以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）D A ．→R ZB ． →Z QC. []1,2(0,1)→ D ． (1,2)→R三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=；（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 解：（1）圆锥的底面积214S r ππ== ……………3分圆锥的侧面积2S rl π==……………3分圆锥的全面积124(1S S S π=+=……………1分 （2）2BOC π∠=Q OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOB ……………2分CDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角 ……………1分在Rt CDO V 中，2OC =,OD =, ……………1分tan CDO ∠=,CDO ∴∠=……………2分 所以，直线CD 与平面AOB所成角的为。

……………1分18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 在ABC △中，边,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的边。

（1）若()()()22sin 02sin 1sin 2sin ca b Ab a B Ca b A-=-+-，求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC △的面积。

解：（1）由()()()()()22sin 02sin 2sin 2sin 2sin 1sin 2sin c a b Ac C a b A b a B b a BCa b A-=⇒=-+--+-；……………2分由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =，c =sin sin a c A C =，∴85a =；…………2分由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,…………2分∴()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C =+=+=；…………2分∴118sin 225ABC S ca B ∆-==。

…………2分 19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知双曲线22:1C x y -=；(1)求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点,M N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.解：(1)2F …………1分 渐近线 0x y ±=………1分1R =…………2分22(1x y +=;………………2分(2)设经过点B 的直线方程为1y kx =-,交点为1122(,),(,)M x y N x y ………………1分由22221(1)2201x y k x kx y kx ⎧-=⇒-+-=⎨=-⎩,…………………1分则2121210100k k x x x x ⎧≠⎪∆>⎪⇒<<⎨+>⎪⎪>⎩2分 MN 的中点为221(,)11k k k ----，…………1分得中垂线2211:()11kl y x k k k +=-+--………1分 令0x =得截距2222211t k k -==>--………………2分 即线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是(2,)+∞.20. （本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意R x ∈恒有(2)2()f x f x =-； （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数(),(1,8]y f x x =∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()2f x x =--，求()y f x =在区间*(1,2],n n N ∈上的最大值与最小值. 解：1）(1)3f =-Q 且(2)2()f x f x =-(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 22(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分33(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分44(16)(2)3(2)48f f ∴==-⋅-=-……………1分2）(2)2()()2()2x f x f x f x f =-⇒=-(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，()(1,2]f x ∈……………1分(2,4]x ∈时，221()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分()[4,2)f x ∈--……………1分(4,8]x ∈时，2211()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+，……………1分()(4,8]f x ∈……………1分得：222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ⎧⎪-+∈⎪⎪=---∈⎨⎪⎪-+∈⎪⎩，值域为[4,2)12](4,8]--（，……………1分 3）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-当(1,2]x ∈时，3()2f x x =--得：当2(2,2]x ∈时，()2()32x f x f x =-=-……………1分当1(2,2]n n x -∈时，1(1,2]2n x -∈，21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222n n n n n n x x x x f x f f f x -----=-=-=-=---=--⋅L ……………2分当1(2,2]n n x -∈，n 为奇数时，22()32[,0]4nn f x x -=--⋅∈-当1(2,2]n n x -∈，n 为偶数时，22()32[0,]4nn f x x -=-⋅∈综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为12-……………1分 2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n上最大值为24n ，最小值为28n-……………1分3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n上最大值为28n ，最小值为24n-……………1分21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为n S ，若对任意的N*n ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且N*k ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”；（1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得21140n n n a a a -+-≤对一切*2,n n N ≥∈恒成立？如果存在，求出2a 的所有可能值；如果不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()H k 数列”，且121k a a a ====L ，证明：当21n k ≥+时，1112n k n k a --⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.解：（1）数列{}n a 为“()1H 数列”，则11n n S a +=-，故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， …………………1分又1n =时，121a a =-，所以2122a a ==，………………1分 故12n n a a +=对任意的N*n ∈恒成立，即12n na a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为12,*n n a n N -=∈；………………1分21,*n n S n N =-∈………………1分（2）2132321132()2N*n n n n n n n n n n S a a a a a a a n S a +++++++++=-⎧⇒=-⇒=+∈⎨=-⎩21(2,)N*n n n a a a n n ++⇒=+≥∈………………1分当*2,n n N ≥∈时，()222121111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=-+=--因为*11,(3,)n n n a a a n n N +--=≥∈成立，则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈成立；则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈………………2分则22*11324(3,)n n n a a a a a a n n N -+-=-≥∈因为432a a a =+则222*113232(3,)n n n a a a a a a a n n N -+-=--≥∈………………1分因为13132,13S a a a =-=⇒=，则2229340a a --≤且2n =时，22340a -≤，解得：20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-。