浦东新区2017学年第二学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 21lim1n n n →+∞+=-2. 不等式01xx <-的解集为3. 已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=5. 91)x+二项展开式中的常数项为6.椭圆2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点坐标为7. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为8.函数2()cos 2f x x x =，x ∈R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为 米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是12. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n+上存在1m +个 实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大 值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ）A.B.C.D.14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ⋅=⋅；（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，相应的在向量运算中，下列式子：（1）||||||a b a b +≤+；（2）||||||a b a b ⋅=⋅；（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ） A. R →Z B. Z →Q C. [1,2](0,1)→ D. (1,2)→R三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为 圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=.（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积.19. 已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.20. 已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最小值.21. 已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.（1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40nn n a a a -+-≤对一切2n ≥，*n N ∈恒成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所 有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()H k 数列”，且121k a a a ==⋅⋅⋅==，证明：211(1)2n kn k k a -+-≥+.参考答案2018.04一. 填空题1. 22. ()0,13.114.35.846.()1,07.163 8. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 9. 10.13 11.[]1,0- 12.6二. 选择题 13-16. ABAD 三. 解答题 17.（1）圆锥的底面积214S r ππ== ……………3分圆锥的侧面积2S rl π==……………3分圆锥的全面积124(1S S S π=+=……………1分 （2）2BOC π∠=Q O C O B ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOB ……………2分 CDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角 ……………1分在Rt CDO V 中，2OC =,OD =, ……………1分tan CDO ∠,CDO ∴∠= ……………2分所以，直线CD 与平面AOB 所成角的为1分 18.（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-；……………2分由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；……………2分（2）由4sin 5A =，c =sin sin a c A C =，∴85a =；…………2分由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,…………2分∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=；…………2分∴1sin 2ABC S ca B ∆==…………2分 19.（1）2F …………1分 渐近线 0x y ±=………1分1R =…………2分 22(1x y +=………………2分（2）设经过点B 的直线方程为1y kx =-,交点为1122(,),(,)M x y N x y ………………1分22221(1)2201x y k x kx y kx ⎧-=⇒-+-=⎨=-⎩…1分则212121,0010k x x k x x ⎧≠∆>⎪+>⇒<<⎨⎪>⎩…2分 MN 的中点为221(,)11k k k ----，…1分 得中垂线2211:()11kl y x k k k+=-+--…1分 令0x =得截距2222211t k k -==>--………………2分即线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是(2,)+∞.20.（1）(1)3f =-Q 且(2)2()f x f x =-(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 22(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分33(2)3(2)f ∴=-⋅-………1分 44(16)(2)3(2)48f f ∴==-⋅-=-……1分（2）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-，(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，()(1,2]f x ∈……………1分 (2,4]x ∈时，221()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分()[4,2)f x ∈--……………1分(4,8]x ∈时，2211()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+，……………1分()(4,8]f x ∈……………1分得：222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ⎧⎪-+∈⎪⎪=---∈⎨⎪⎪-+∈⎪⎩，值域为[4,2)12](4,8]--（，……………1分（3）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-当(1,2]x ∈时，3()2f x x =--得：当2(2,2]x ∈时，()2()32x f x f x =-=-……1分当1(2,2]n n x -∈时，1(1,2]2n x -∈，21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222n n n n n n x x x x f x f f f x -----=-=-=-=---=--⋅L (2)分 当1(2,2]n nx -∈，n 为奇数时，22()32[,0]4nn f x x -=--⋅∈-当1(2,2]n nx -∈，n 为偶数时，22()32[0,]4nn f x x -=-⋅∈综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为12-……………1分 2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n上最大值为24n，最小值为28n-……………1分3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n上最大值为28n，最小值为24n-……………1分21.（1）数列{}n a 为“()1H 数列”，则11n n S a +=-，故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， …………………1分又1n =时，121a a =-，所以2122a a ==，………………1分 故12n n a a +=对任意的N*n ∈恒成立，即12n na a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为12,*n n a n N -=∈；………………1分21,*n n S n N =-∈………………1分（2）2132321132()2N*n n n n n n n n n n S a a a a a a a n S a +++++++++=-⎧⇒=-⇒=+∈⎨=-⎩21(2,)N*n n n a a a n n ++⇒=+≥∈………………1分当*2,n n N ≥∈时，()222121111()n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ++++++-=-+=--因为*11,(3,)n n n a a a n n N +--=≥∈，则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈；则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈………………2分则22*11324(3,)n n n a a a a a a n n N -+-=-≥∈，因为432a a a =+则222*113232(3,)n n n a a a a a a a n n N -+-=--≥∈………………1分 因为13132,13S a a a =-=⇒=，则2229340a a --≤，且2n =时，22340a -≤，解得：20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-………………2分（3）*1*11(2,)(2,)n k n n k n k n n k n a S k a a a n n N a S k n n N +++--+-=+⎧⎪⇒=+≥∈⎨=+≥∈⎪⎩…………1分 110k a S k +=+>，由归纳知，20,,0k n a a +>⇒>L ，…………1分1211,1k k a a a a k +=====+L ，由归纳知，*1,()n n a a n N +≤∀∈，…………2分则*11112(2,)n k n k n n k n k n k a a a a a a n n N ++-+-+-+-=+≤+=≥∈*12(2,)n k n k a a n n N ++-≤≥∈…………1分*122121111,()222n k n k n k n k k a a a a n N ++++++--⇒≥≥≥≥∈L …………1分 于是*2212111(1),()2n k n k n k n k k a a a a n N ++-++--=+≥+∈ 于是1*2211(1),()2n n kk k a a n N -+-≥+∈…………1分22k k a S k k =+=，∴112111111(1)2(1),(2(1))222n n k kn k k k k a k k ----+---≥+⋅>+>+…1分 结论显然成立.。