黄浦区2018年高考模拟考数学试卷(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2018.4考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ． 2．不等式|1|1x ->的解集是 ．3．若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ．4．已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ．5．已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r，则a b ⋅r r = ．(结果用数值表示)6．方程33log (325)log (41)0x x⋅+-+=的解x = ．7．已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ．8．已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．9．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人． 10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 11．已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．12．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的答( )．(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件14． 二项式403x x 的展开式中，其中是有理项的项数共有 答( ). (A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项15．实数x y 、满足线性约束条件3,0,0,10,x y x y x y +≤⎧⎪≥≥⎨⎪-+≥⎩则目标函数23w x y =+-的最大值是答( )．(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2- (D ) 316．在给出的下列命题中，是ggg假命题的是 答( )．(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈u u u r u u u r u u u r，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈r r r、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OCu u u r u u u r u u u r、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r、、、，使得其 中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 在四棱锥P ABCD-中，PA ABCD⊥平面，,,1,AB AD BC AD BC⊥=P2,45CD CDA=∠=．(1)画出四棱锥P ABCD-的主视图；(2)若PA BC=，求直线PB与平面PCD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知10,(010)OA OB x x==<<米米，线段BA CD、线段与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知动点(,)M x y到点(2,0)F的距离为1d，动点(,)M x y到直线3x=的距离为2d，且126dd=.(1)求动点(,)M x y的轨迹C的方程；(2)过点F作直线:(2)(0)l y k x k=-≠交曲线C于P Q、两点，若OPQ∆的面积3OPQS∆=(O是坐标系原点)，求直线l的方程.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()fx -；(2)试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足:123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 定义：若数列{}n c 和{}n d满足*10,0,N nn n c d n +>>=∈且c ，则称数列{}n d 是数列{}n c 的“伴随数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的伴随数列，试解答下列问题： (1)若*(N )nn b a n =∈，1b ={}n a 的通项公式n a ；(2)若*11(N )n n n b b n a +=+∈，11b a 为常数，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； (3)若*1N )n nb n +=∈，数列{}n a 是等比数列，求11a b 、的数值．黄浦区2018年高考模拟考数学试卷参考答案和评分标准2018.4说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.1．2 2．(,0)(2,)-∞+∞U 3．[2,2]- 4．4π5．6- 6．27．3[,],Z 88k k k ππππ-+∈ 8．3(3]4- 9．140 10．51611．50 12．3.二、选择题．13．()A 14．()B 15．()D 16．()D三、解答题． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 解 (1)主视图如下：(2) 根据题意，可算得1,2AB AD ==. 又1PA BC ==，按如图所示建立空间直角坐标系， 可得，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C D P .于是，有(1,0,1),(1,1,0),(0,2,1)PB CD PD =-=-=-u u u r u u u r u u u r. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 令2z =，可得1,1y x ==，故平面PCD 的一个法向量为(1,1,2)n =r.设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为θ，则||3sin ||||n PB n PB θ⋅==r u u u r r u u u r .所以直线PB 与平面PCD所成角的大小为arcsin .18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)根据题意，可算得弧BC x θ=⋅(m )，弧10AD θ=(m ). 又30BA CD BC CD +++=弧弧，于是，10101030x x x θθ-+-+⋅+=，所以，210(010)10x x x θ+=<<+.(2) 依据题意，可知22111022OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇化简，得2550yx x =-++25225()24x =--+. 于是，当52x =(满足条件010x <<)时，max 2254y =(2m ).答 所以当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米.19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)结合题意，可得12|3|d d x ==-.又12d d =3=，化简得 22162x y +=. 因此，所求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程是22162x y +=. (2) 联立方程组221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=.设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则2122212212,13126,130.k x x k k x x k ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩于是，弦||PQ==点O到直线l的距离d=.由OPQS∆==42210k k-+=，解得1k=±，且满足0∆>，即1k=±都符合题意.因此，所求直线的方程为2020x y x y--=+-=或.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解(1)22,10,()=1, 0 1.x xf xx x--≤<⎧⎨-≤≤⎩Q∴当10x-≤<时，()2,0()2f x x f x=-<≤且.由2y x=-，得12x y=-，互换x y与，可得11()(02)2f x x x-=-<≤.当01x≤≤时，2()1,()0f x x f x=-≤≤且-1.由21y x=-，得x=x y与，可得1()10)f x x-=-≤≤.11, 0<2,2()10.x xf xx-⎧-≤⎪∴=-≤≤(2) 答函数图像上存在两点关于原点对称.设点00000(,)(01)(,)A x y xB x y<≤--、是函数图像上关于原点对称的点，则00()()0f x f x+-=，即200120x x-+=，解得001(1,)x x==舍去，且满足01x<≤.因此，函数图像上存在点1,2(12)A B-和关于原点对称.(3) 考察函数()y f x=与函数y=当12x-≤≤-时，有()f x≥4240x ax---=，解得2+2x a =-，且由21+2a -≤-≤，得02a ≤≤.当1x <≤时，有()f x <240ax -=，化简得 22(4)40a x ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，或(当02a ≤≤时，24024aa -<-<+). 于是，123224,,024ax x x a a =-=-=++. 由32212()x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得32a -±=.因为312a -=<-，故32a -=不符合题意，舍去；02a <=<，满足条件.因此，所求实数a =21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 解 (1)根据题意，有*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且.由*(N )nn b a n =∈，1b =111n a a b +====*N n ∈.所以n a =*N n ∈． 证明 (2) Q *11(N )n n n b b n a +=+∈，*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，∴11n n b a ++==11n n b a ++=*N n ∈．∴22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*N n ∈．∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为211b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、公差为1的等差数列．解(3)Q *1N )n n b n +=∈，*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，*N n n a b n <+≤∈，得11n a +<.Q {}n a 是等比数列，且0n a >，设公比为(0)r r >，则1*1(N )n n a a r n -=∈.∴当1r >，即lim n n a →∞→+∞，与11n a +<≤1r >不成立.当01r <<，即lim 0n n a →∞→，与11n a +<≤01r <<不成立.∴1r =，即数列{}n a 是常数列，于是，1n a a =(11a <≤).*11(N )n n b n +∴=∈. 100n b b >∴>Q ，，数列{}n b 也是等比数列，设公比为(0)q q >，有11n n b b q +=.2n a +∴=可化为222221111111(1)2(1)0(1n n b a q a b q a a a --+-=<≤，*N n ∈.Q 2222422111111111(1)0,20,(1)0,4(2)0b a a b a a a b a ->≠->∆=-≥，∴关于x 的一元二次方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=有且仅有两个非负实数根.一方面，n q (*N n ∈)是方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=的根；另一方面，若1(0)q q ≠>，则无穷多个互不相等的234,,,,,,nq q q q q L L 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！1q ∴=，即数列{}n b 也是常数列，于是，1n b b =，*N n ∈.∴由*1N )n nb n +=∈，得1a =把1a =1n a +=解得1b11a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ．。