二尺度关系存在于任意相邻尺度j和j-1之间

设H0(ω)为h0k的傅立叶变换， H1(ω)为h1k 的傅立叶变换，它们都是以2π为周期的周 期函数。
H 0 ( ) h0 k e jk H1 ( ) h1k e jk
k k
2 (2 ) H 0 ( ) ( ) 2 (2 ) H1 ( ) ( )
' 0
( ) H (2 )
' 0 j j 1

( ) H1' ( ) H 0' (2 j )
2
j 1



（4）滤波器H0（ω）， H1（ω）特性： 滤波器H 0 ( )、H 0 ( )满足下式： 2 2 | H 0 ( ) | | H 0 ( ) | 2 2 2 | H1 ( ) | | H1 ( ) | 2 H 0 ( ) H ( ) H 0 ( ) H1 ( ) 0
尺度函数和小波函数
二尺度方程及多分辨率滤波器组
二进正交小波变换的Mallat算法 常见小波函数
1. 多分辨率分析
定义：多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是用小波函数的二进伸缩 和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂 的表现形式，它重点处理整个函数集，而 非侧重处理作为个体的函数。 基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj 表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波 空间。
V0中的任意函数f(t)均可表示为 (t k )

kZ
的线性组合，我们设P0f(t)代表f(t)在V0 0 P f ( t ) x 0k (t ) 上的投影，则有：0 k (t ) k (0) xk 是线性组合的权重，其求法如下： ( 0) xk P 0 f (t ),0 k (t ) f (t ),0 k (t ) 我们称P0f(t)为f(t)在V0处的平滑逼近， (0) 也就是f(t)在j=0下的概貌，xk 称为f(t) 在分辨率j=0下的离散逼近。

尺度空间Vj具有以下递归嵌套关系： 将Vj，Vj－1相关联的关键性质是：
V1 V0 V1

如：f(t)∈Vj，则f(t/2)∈Vj-1,

f(2t)∈Vj+1。
位移不变性：函数的时移不改变其所属空间，
即如果f(t)∈Vj，则f(t-k)∈Vj。
空间的剖分是完整的，即当j－>-∞， Vj －>L2（R），包含整个平方可积的实变函数空间。 当j－>+∞，Vj－> 0，即空间最终剖分到空集为止。

补充：直和

设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子空 间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成 x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则称 E是L1，L2，…，Ln的直和，记为：
E L1 L2 Ln或E Lk
k 1
n
jk t 2 t k 尺度函数， j＝0，-1，-2，-3；k=0， 1,2，…,（这里暂对j和k的范围做了限制）形成了伸 缩平移系统，其中j不同，张成了不同的子空间，如 图：
式中， (t k ) 0 k (t ) (0 k (t )为j 0时的 jk (t ) 1 2
j 2
(2 j t k ))

（2）根据二尺度伸缩性，如果φ（t） ∈V0， (t ) 则φ（t/2） ∈V1，而且，如果 是V0中 0k kZ 1 t 的正交归一基，则 1k (t ) ( k)

在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把 平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级 逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通 平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐 级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这 就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼 近待分析函数f(t)。

见word
性质
f (t ) V j , 有f (t ) ak jk (t ) 2

所以，尺度函数在不同尺度下其平移系列 组成了一系列的尺度空间。
2.2 小波函数及其小波空间

L2（R）的正交基就是把直和的子空间的正 交基合并起来。所以L2（R）的标准正交基 为： j j
2 2 (2 t k ), j, k Z
j


张成了 V 子空间； 2 t k ,k=0，…，3， 张成了 V 子空间； 2 t k ,k=0，1，张成了V 子空间； t k ,k=0, 张成了 V 子空间。由图可知：
-3 2
-2
23 t k
1
我们刚才推导出
0
V-3 V-2 V-1 V0
1
但是，毕竟 V 不等于 V ，也即P0 x(t ) 比 P1x(t )对x(t)近似的 好，但二者之间肯定有误差。这 一误差是由φ (t − k)和φ ( 2t1− k)的宽度不同而产生 的，因此，这一差别应是一些“细节”信 ) 号，我们记之为D1x(t。这样，有 P0 x(t) = P1 x(t) + D1 x(t) 该式的含义是：x(t)在高分辨率基函数所形成的空间 中的近似等于它在低分辨率空间中 的近似再加上某些细节。现在我们来寻找D1 x(t)的 表示方法。
3.2 滤波器系数h0k和h1k的性质

（1） h0k和h1k的总和分别为
h h
n n
0k
2 0

（2）频域初值
1k
H 0 ( 0) 2 H1 ( 0) 0

（3）递推关系
( )、 ( )与H 0 ( )、H1 ( )之间存在下述关系：
1 1 ' 令H ( ) H 0 ( ), H1 ( ) H1 ( )，则 2 2

jk (t ) 2 2 (2 j t k )

称每一个尺度j上的平移系列φjk（t）所组成 的空间Vj为尺度为j的尺度空间。
________ Vj span jk (t ) , k Z

对于任意函数
j 2 k j a ( 2 t k) k k
都是互相正交的。

j 2

jk
(t )
j 'k '
dt jj ',kk '

（3）同一尺度下，因为Wj⊥Vj，所以小波 函数和尺度函数之间是正交的，即：

jk
(t ) dt 0
jk '
3. 二尺度方程及多分辨率 滤波器组
t 由于 j 0 (t ) j ( j ) V j , V j 1 V j , j 1,k (t )又是V j 1空间的正交 2 2 2 1 t 归一基，所以 j 0 (t )可以表示为 j 1,k (t ) j1 ( j 1 k )的线性 2 2 2 组合，即： j 0 (t ) h0k j 1,k (t ) 1
,k=0，1，…，7，
-1
0
V-3 V-2 V-1 V0
比喻

类似于人的视觉系统。例如：人在观察某 一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或 2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走 近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他 观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨 率j下获得的信息更加丰富，即 V j V j 1 ，分 辨率越高，距离越近；反之，则相反。
1 t 1 t 1k (t ),1k ' (t ) ( k ) ( k ' )dt 2 2 2 2 1 t t t ( k ) ( k ' ) dt, 当t ' 2 2 2 2 (t ' k ) (t ' k ' ) dt' (t t ' )

(t k )kZ W1中的任意函数f(t)均可以表示为 的线性组合。
多分辨率概念
1.平移不变性。 2.单调性。
3.伸缩性。
4.逼近性。 5.Riesz基存在性。
性质1说明，函数的时移不改变所属 的空间，等效为
2. 尺度函数和小波函数
2.1 尺度函数及其空间 2 ( t ) L ( R) 为尺度函数，若其经过 定义：函数 整数平移k和尺度j上的伸缩，得到一个尺度 和位移均可变化的函数集合： j
多分辨率分析与正交 小波变换
概述
多分辨率是小波分析中的最重要
的概念之一，它从函数空间的高 度研究函数的多分辨率表示—将 一个函数表示为一个低频成分与 不同分辨率下的高频成分。更重 要的是，多分辨率能够提供一种 构造小波的统一框架，并且能够 提供函数分解与重构的快速算法。
本章主要内容
多分辨率分析
k 2

比较二进小波的函数形式。
k ,n (t ) 2 (2 t n), k , n Z
k尺度函数
jk (t ) 2 (2 t k ), j, k Z
j
j 2

（2）小波函数
jk (t ) 2 (2 j t k )对所有的j, k Z

我们设D1f(t)代表f(t) 在W1上的投影，有
D1 f (t ) d 1k (t )
(1) k

d
d
(1) k 是线性组合的权重，其求法：
(1) k
D1 f (t ) , 1k (t ) f (t ), 1k (t )
因为V0 V1 W1 , 所以P0 f (t ) P 1 f (t ) D1 f (t )
Pj f (t ) Pj 1 f (t ) Dj 1 f (t ) 进行类推，可得：