一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.(1)求之间的距离(2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223. 【解析】 【分析】(1)解直角三角形即可得到结论;(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==,'30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得33,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m ,∴AB=sin 30AC︒=6012=120(m )(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°,∴33∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答:从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)已知:如图,AB 是半圆O 的直径,弦//CD AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合),20AB =,4cos 5AOC ∠=.设OP x =,CPF ∆的面积为y .(1)求证:AP OQ =;(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域; (3)当OPE ∆是直角三角形时,求线段OP 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)236030050(10)13x x y x x -+=<<;(3)8OP =【解析】 【分析】(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ =,联结OD 后还有OA DO =,再结合要证明的结论AP OQ =,则可肯定需证明三角形全等,寻找已知对应边的夹角,即POA QDO ∠=∠即可;(2)根据PFC ∆∽PAO ∆,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去. 【详解】(1)联结OD ,∵OC OD =,∴OCD ODC ∠=∠, ∵//CD AB , ∴OCD COA ∠=∠, ∴POA QDO ∠=∠. 在AOP ∆和ODQ ∆中,{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=, ∴AOP ∆≌ODQ ∆, ∴AP OQ =;(2)作PH OA ⊥,交OA 于H , ∵4cos 5AOC ∠=, ∴4455OH OP x ==,35PH x =, ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=. ∵//CD AB , ∴PFC ∆∽PAO ∆, ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==, ∴2360300x x y x-+=,当F 与点D 重合时,∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=, ∴101016x x =-,解得5013x =, ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=时,90OPA ∠=, ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=; ②当90POE ∠=时,1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠,∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=,∵501013OP <<, ∴72OP =(舍去); ③当90PEO ∠=时,∵//CD AB , ∴AOQ DQO ∠=∠, ∵AOP ∆≌ODQ ∆, ∴DQO APO ∠=∠, ∴AOQ APO ∠=∠,∴90AEO AOP ∠=∠=,此时弦CD 不存在,故这种情况不符合题意,舍去; 综上,线段OP 的长为8.3.如图,已知,在O 中,弦AB 与弦CD 相交于点E ,且AC BD =.(1)求证:AB CD =;(2)如图,若直径FG 经过点E ,求证:EO 平分AED ∠;(3)如图,在(2)的条件下,点P 在CG 上,连接FP 交AB 于点M ,连接MG ,若AB CD ⊥,MG 平分PMB ∠,2MG =,FMG ∆的面积为2,求O 的半径的长.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)O 10.【解析】 【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明;(2)连接AO 、DO ,过点O 作OJ AB ⊥于点J ,OQ CD ⊥于点Q ,证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =,根据角平分线的判定定理可得结论;(3)如图,延长GM 交O 于点H ,连接HF ,求出2FH =,在HG 上取点L ,使HL FH =,延长FL 交O 于点K ,连接KG ,求出22FL =,设HM n =,则有2LK KG n ==,222FK FL LK n =+=+,再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠,从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠,KG HFFK HM=,再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长,最后得到圆的半径为10. 【详解】解:(1)证明:∵AC BD =,∴AC CB BD CB +=+, ∴AB CD =, ∴AB CD =.(2)证明:如图,连接AO 、DO ,过点O 作OJ AB ⊥于点J ,OQ CD ⊥于点Q ,∴90AJO DQO ∠=∠=︒,1122AJ AB CD DQ ===, 又∵AO DO =, ∴AOJ DOQ ∆≅∆, ∴OJ OQ =,又∵OJ AB ⊥,OQ CD ⊥, ∴EO 平分AED ∠.(3)解:∵CD AB ⊥,∴90AED ∠=︒,由(2)知,1452AEF AED ∠=∠=︒, 如图,延长GM 交O 于点H ,连接HF ,∵FG 为直径,∴90H ∠=︒,122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=, ∵2MG =,∴2FH =,在HG 上取点L ,使HL FH =,延长FL 交O 于点K ,连接KG ,∴45HFL HLF ∠=∠=︒,45KLG HLF ∠=∠=︒, ∵FG 为直径,∴90K ∠=︒,∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠,∴LK KG =, 在Rt FHL ∆中,222FL FH HL =+,22FL = 设HM n =,2HL MG ==,∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==, 在Rt LGK ∆中,222LG LK KG =+,22LK KG ==,222FK FL LK =+=, ∵GMP GMB ∠=∠,∵PMG HMF ∠=∠,∴HMF GMB ∠=∠, ∵1452AEF AED ∠=∠=︒, ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒,45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒, ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠, ∴tan tan KFG HMF ∠=∠,∴KG HFFK HM=,∴2222222nn =+,4n =, ∴6HG HM MG =+=,在Rt HFG ∆中,222FG FH HG =+,210FG =10FO = 即O 10【点睛】考查了圆的综合题,本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用,适当的添加辅助线是解题的关键.4.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.(1)如图①,当点E落在边BA的延长线上时,∠EDC=度(直接填空);(2)如图②,当点E落在边AC上时,求证:BD=12 EC;(3)当AB=22,且点E到AC的距离等于3﹣1时,直接写出tan∠CAE的值.【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)633 tan EAC-∠=【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.只要证明△BAD≌△PAE(SAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,可得EP3,EH=2PH=2x,由此FH=31,CF=33,由△BAD≌△PAE,得BD=EP3x,AE=AD,在Rt△ABG中, AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=3tan∠EAF=23tan∠EAC=6-3311.【详解】(1)如图1中,∵∠EDC=∠B+∠BED,∠B=∠BED=45°,∴∠EDC=90°,故答案为90;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.∵∠DAE=∠BAP=90°,∴∠BAD=∠PAE,∵∠B=45°,∴∠B=∠APB=45°,∴AB=AP,∵AD=AE,∴△BAD≌△PAE(SAS),∴BD=PE,∠APE=∠B=45°,∴∠EPD=∠EPC=90°,∵∠C=30°,∴EC=2PE=2BD;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,∵∠EPH=90°,∠EHP=60°,∴EP,EH=2PH=2x,∴FH=1,CF FH=∵△BAD≌△PAE,∴BD=EP,AE=AD,在Rt△ABG中,∵AB=∴AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,∵AE2=AD2=AF2+EF2,∴22+(2)21)2+(4﹣﹣2,整理得:9x2﹣12x=0,解得x=43(舍弃)或0∴PH=0,此时E,P,H共点,∴AF=∴tan∠EAF=EFAF=2根据对称性可知当点E在AC的上方时,同法可得tan∠EAC=11.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.5.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y=13x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-43x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,t=4,S=12×(12+454)×11=10238;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,PKF K'=13,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴30040k bb+=⎧⎨=⎩,∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),∴EF=15;(2)①易求B(0,5),∴BF=10,∴当点F1移动到点B时,t=1010=10;②当点H 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'的距离是10t , 在Rt △F'NF 中,NF NF '=13, ∴FN =t ,F'N =3t ,∵MH'=FN =t ,EM =NG'=15﹣F'N =15﹣3t ,在Rt △DMH'中,43MH EM '=, ∴41533t t =-, ∴t =4, ∴EM =3,MH'=4,∴S =1451023(12)11248⨯+⨯=; 当点G 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'10,∵PF =10∴PF'10t ﹣10,在Rt △F'PK 中,13PK F K =',∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9,在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=43, ∴t =7,∴S =15×(15﹣7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.6.如图,正方形OABC 的顶点O 与原点重合,点A ,C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上,点A 的坐标为(4,0),点D 在边AB 上,且tan ∠AOD =12,点E 是射线OB 上一动点,EF ⊥x 轴于点F ,交射线OD 于点G ,过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H .(1)求B ,D 两点的坐标;(2)当点E 在线段OB 上运动时,求∠HDA 的大小; (3)以点G 为圆心,GH 的长为半径画⊙G .是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切?若不存在,请说明理由;若存在,请求出所有符合条件的点E 的坐标.【答案】(1)B (4,4),D (4,2);(2)45°;(3)存在,符合条件的点为(8﹣2,8﹣2)或(2,2)或42164216,77⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭,理由见解析 【解析】【分析】(1)由正方形性质知AB=OA=4,∠OAB=90°,据此得B (4,4),再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2,据此可得点D 坐标;(2)由1tan2GFGOFOF∠==知GF=12OF,再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF,即GF=12EF,根据GH∥x轴知H为AE的中点,结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位线,即HD∥BE,据此可得答案;(3)分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况,设PG=x,结合题意建立关于x的方程求解可得.【详解】解:(1)∵A(4,0),∴OA=4,∵四边形OABC为正方形,∴AB=OA=4,∠OAB=90°,∴B(4,4),在Rt△OAD中,∠OAD=90°,∵tan∠AOD=12,∴AD=12OA=12×4=2,∴D(4,2);(2)如图1,在Rt△OFG中,∠OFG=90°∴tan∠GOF=GFOF =12,即GF=12OF,∵四边形OABC为正方形,∴∠AOB=∠ABO=45°,∴OF=EF,∴GF=12EF,∴G为EF的中点,∵GH∥x轴交AE于H,∴H为AE的中点,∵B(4,4),D(4,2),∴D为AB的中点,∴DH是△ABE的中位线,∴HD∥BE,∴∠HDA=∠ABO=45°.(3)①若⊙G与对角线OB相切,如图2,当点E在线段OB上时,过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=2x,OF=EF=22x,∵OA=4,∴AF=4﹣22x,∵G为EF的中点,H为AE的中点,∴GH为△AFE的中位线,∴GH=12AF=12×(4﹣22x)=2﹣2x,则x=2﹣2x,解得:x=22﹣2,∴E(8﹣42,8﹣42),如图3,当点E在线段OB的延长线上时,x2x﹣2,解得:x=2∴E(2,2②若⊙G 与对角线AC 相切,如图4,当点E 在线段BM 上时,对角线AC ,OB 相交于点M ,过点G 作GP ⊥OB 于点P ,设PG =x ,可得PE =x ,EG =FG =2x , OF =EF =22x ,∵OA =4, ∴AF =4﹣22x ,∵G 为EF 的中点,H 为AE 的中点,∴GH 为△AFE 的中位线,∴GH =12AF =12×(4﹣22x )=2﹣2x , 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ,则GQ =PM =3x ﹣22,∴3x ﹣22=2﹣2x ,∴4227x +=, ∴42164216,E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭; 如图5,当点E 在线段OM 上时,GQ =PM =23x ,则23x =22,解得4227x -=, ∴16421642,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭; 如图6,当点E 在线段OB 的延长线上时,3x ﹣22x ﹣2, 解得:422x -=(舍去); 综上所述,符合条件的点为(8﹣2,8﹣2)或(2,2)或42164216,77⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭. 【点睛】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.7.如图,△ABC 中,AC =BC =10,cosC =35,点P 是AC 边上一动点(不与点A 、C 重合),以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE ⊥CB 于点E .(1)当⊙P 与边BC 相切时,求⊙P 的半径. (2)连接BP 交DE 于点F ,设AP 的长为x ,PF 的长为y ,求y 关于x 的函数解析式,并直接写出x 的取值范围.(3)在(2)的条件下,当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 边上的点G 时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409R=;(2)25880320xy x xx=-++;(3)50105-.【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,即可求解;(2)首先证明PD∥BE,则EB BFPD PF=,即:2024588x yxxxy-+--=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH =ACsinC =8,同理可得:CH =6,HA =4,AB =45,则:tan ∠CAB =2,BP =228+(4)x -=2880x x -+, DA =25x ,则BD =45﹣25x , 如下图所示,PA =PD ,∴∠PAD =∠CAB =∠CBA =β,tanβ=2,则cosβ5,sinβ5, EB =BDcosβ=(525x )5=4﹣25x , ∴PD ∥BE , ∴EB BF PD PF =,即:2024588x y x xx -+--=, 整理得:y 25x x 8x 803x 20-++ (3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q是弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴AB=DB+AD=AG+AD=5设圆的半径为r,在△ADG中,AD=2rcosβ5DG5AG=2r,5=52r51,则:DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.8.已知:如图,直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点,将△AOB折叠,使A点恰好落在OB的中点C处,折痕为DE.(1)求AE的长及sin∠BEC的值;(2)求△CDE的面积.【答案】(1)52,sin∠BEC=35;(2)754【解析】【分析】(1)如图,作CF⊥BE于F点,由函数解析式可得点B,点A坐标,继而可得∠A=∠B=45°,再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6,CF=BF=32,设AE=CE=x,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x,在Rt△CEF中,利用勾股定理求出x 的值即可求得答案;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=24AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,利用勾股定理求出y,继而可求得答案.【详解】(1)如图,作CF⊥BE于F点,由函数解析式可得点B(0,12),点A(12,0),∠A=∠B=45°,又∵点C是OB中点,∴OC=BC=6,2设AE=CE=x,则222-x,在Rt△CEF中,CE2=CF2+EF2,即x2=(2)2+(2)2,解得:2故可得sin∠BEC=35CFCE,2(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,则S △CDE =S △AED =12AD•EM=12AD×AEsin ∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE , 设AD=y ,则CD=y ,OD=12-y ,在Rt △OCD 中,OC 2+OD 2=CD 2,即62+(12-y )2=y 2,解得:y=152,即AD=152, 故S △CDE =S △AED =24AD×AE=754. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识,综合性较强,正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.9.已知:如图,在Rt △ABO 中,∠B =90°,∠OAB =30°,OA =3.以点O 为原点,斜边OA 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,以点P (4,0)为圆心,PA 长为半径画圆,⊙P 与x 轴的另一交点为N ,点M 在⊙P 上,且满足∠MPN =60°.⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动,设运动时间为ts ,解答下列问题:(发现)(1)MN 的长度为多少;(2)当t =2s 时,求扇形MPN (阴影部分)与Rt △ABO 重叠部分的面积.(探究)当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时,求点P 的坐标.(拓展)当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时,请你直接写出t 的取值范围.【答案】【发现】(1)MN 的长度为π3;(23P 的坐标为10(,);或3 03()或23 03-();【拓展】t 的取值范围是23t ≤<或45t ≤<,理由见解析.【解析】【分析】发现:(1)先确定出扇形半径,进而用弧长公式即可得出结论;(2)先求出PA =1,进而求出PQ ,即可用面积公式得出结论;探究:分圆和直线AB 和直线OB 相切,利用三角函数即可得出结论;拓展:先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点,即可得出结论.【详解】[发现](1)∵P (4,0),∴OP =4.∵OA =3,∴AP =1,∴MN 的长度为6011803ππ⨯=. 故答案为3π; (2)设⊙P 半径为r ,则有r =4﹣3=1,当t =2时,如图1,点N 与点A 重合,∴PA =r =1,设MP 与AB 相交于点Q .在Rt △ABO 中,∵∠OAB =30°,∠MPN =60°. ∵∠PQA =90°,∴PQ 12=PA 12=,∴AQ =AP ×cos30°3=,∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 3=. 即重叠部分的面积为38. [探究]①如图2,当⊙P 与直线AB 相切于点C 时,连接PC ,则有PC ⊥AB ,PC =r =1. ∵∠OAB =30°,∴AP =2,∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1;∴点P 的坐标为(1,0);②如图3,当⊙P 与直线OB 相切于点D 时,连接PD ,则有PD ⊥OB ,PD =r =1,∴PD ∥AB ,∴∠OPD =∠OAB =30°,∴cos ∠OPD PD OP =,∴OP 12330cos ==︒∴点P 的坐标为(233,0); ③如图4,当⊙P 与直线OB 相切于点E 时,连接PE ,则有PE ⊥OB ,同②可得:OP 23=;∴点P的坐标为(233-,0);[拓展]t的取值范围是2<t≤3,4≤t<5,理由:如图5,当点N运动到与点A重合时,MN与Rt△ABO的边有一个公共点,此时t=2;当t>2,直到⊙P运动到与AB相切时,由探究①得:OP=1,∴t411-==3,MN与Rt△ABO的边有两个公共点,∴2<t≤3.如图6,当⊙P运动到PM与OB重合时,MN与Rt△ABO的边有两个公共点,此时t=4;直到⊙P运动到点N与点O重合时,MN与Rt△ABO的边有一个公共点,此时t=5;∴4≤t<5,即:t的取值范围是2<t≤3,4≤t<5.【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了弧长公式,切线的性质,锐角三角函数,三角形面积公式,作出图形是解答本题的关键.10.已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=35时,求BFCF的值;(2)如图2,当tan∠ABC=12时,过D作DH⊥AE于H,求EH EA⋅的值;(3)如图3,连AD交BC于G,当2FG BF CG=⋅时,求矩形BCDE的面积【答案】(1)17;(2)80;(3)100. 【解析】【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ,可求得BF =a ,故17BF CF =;(2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ,得△EGA ∽△EHD ,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ,故可求出矩形的面积.【详解】解:(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,∵sin ∠BEF =35,sin ∠FAK =35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a ,∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴BK =CK =4a ,∴BF =a ,又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ,∵∠AGE =∠DHE =90°,∴△EGA ∽△EHD , ∴EH ED EG EA=, ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC =12,cos ∠ABC =5, ∴BA =BC · cos ∠ABC =5, BK= BA·cos ∠ABC =855⨯= ∴EG =8,另一方面:ED =BC =10,∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,∵BC ∥KT ,BF AF FG KE AE ED ==, ∴BF KE FG DE =,同理:FG ED CG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG =, ∴ED 2= KE ·DT ∴KE ED DE DT= , 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CD BE DT=, ∴KE ·DT =BE 2, ∴BE 2=ED 2∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.。