E（ 0， -2 ）三点，得方程组
4a 2b c 6 abc 3 c2
解得 a=-1, b =0, c=-2 ∴抛物线方程 y=- x2-2
（ 3 ）（本小题给出三种方法，供参考）
由（ 1 ）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E′作E′F⊥ x 轴垂足为 F。
EF EF
同（ 1 ）可得：
y ＝ a（＋ 1）（ x－ 1），（ a ≠ 0 ）即y＝ ax 2－ a ，∴－a ＝± 5 ，∴ a ＝±５
∴抛物线的解析式为 y ＝ 5x 2－ 5 或 y ＝－ 5x 2＋ 5
解法二：（接上） 求得∴ h ＝5
由已知所求抛物线经过点 B（— 1， 0 ）、 M （ 1 、 0 ），则抛
物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（ 0 ，± 5 ）
在 Rt △ AOM中， AO ＝ AM 2 OM 2 1，
∴点 A 的坐标为 A （ 0 ， 1 ） （ 2 ）证：∵直线 y＝ x＋ b 过点 A （ 0， 1 ）∴ 1 ＝0 ＋ b 即 b ＝ 1 ∴ y ＝x ＋ 1
令 y＝ 0 则 x＝－ 1
∴ B（—1， 0 ），
AB ＝ BO 2 AO2
7
∴∠ MPB＝ 60 °，∴∠ APB ＝ 120 °
⌒
120
AB 的长＝
4 2
180
3
y
（ 2 ）在 Rt △ PMB中， PB=2,PM=1, 则 MB ＝ MA ＝ 3 .
又 OM=1 ，∴ A（1 － 3 ， 0）， B（ 1＋ 3 ， 0），
由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上， 则 C(1 ，－ 3).
同理： EF 理⊙ O 2 相切 .
(3) 作 MP ⊥ OA 于 P，设 MN ＝ a,由题意可得 MP ＝ MN ＝ a.
9
∵MN∥ OA ,
∴△CMN ∽△CAO .
MN CN
∴
.
AO CO
a 3a
∴
.
3
3
解之，得 a
33 3 .
2
此时，四边形 OPMN 是正方形 .
33 3
∴MN OP
.
2
方法一：过 E 作 EO′⊥x 轴，垂足 O ′∴AB ∥EO′∥DC
EO DO EO BO
∴
,
AB DB CD DB
又∵DO ′＋BO′＝DB
EO EO
∴
1
AB DC
∵AB =6 ， DC=3 ，∴EO′ =2
DO
又∵
EO ，∴ DO
EO DB 2 3 1
DB AB
AB
6
∴DO ′＝DO ，即 O ′与O 重合， E 在 y 轴上
∴( 3) 2 3OB OB.
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴OB ＝ 1. ∴OA ＝ 3. ∴A(-3,0), B(1,0). 设抛物线的解析式为
y ax2 bx c.
EC
M
31
Q
2
F
9a 3b c 0,
4
a
3,
A
O1 P O O2 B
x
3
则 a b c 0, 解之，得 b
2 3,
3
c 3.
c 3.
∴经过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为 y
并对你的结论加以证明；
（ 3 ）连接 BC ，记△ AB的C 外接圆面积为 S1、⊙Ｍ 面积为 S2 ，若 S1 S2
h
，抛物线
4
y＝ ax 2＋ bx ＋ c 经过 B、 M 两点，且它的顶点到 x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解
析式 .
[ 解 ]（ 1 ）解：由已知 AM ＝ 2 ， OM ＝ 1 ，
(3) 如果 AB 位置不变， 再将 DC 水平向右移动 k(k>0) 个单位， 此时 AD 与 BC 相交
于 E′点，如图②，求△AE′C 的面积 S 关于 k 的函数解析式 .
y
y
B
D
O
x
E
C（ 1， -3 ）
B
D
O
x
E′
C（ 1+k，-3）
A （ 2， -6）
A （ 2， -6）
图②
2
图①
[ 解 ] （ 1 ）（本小题介绍二种方法，供参考）
⌒
(1) 求⊙Ｐ 上劣弧 AB 的长；
(2) 求抛物线的解析式；
(3) 在抛物线上是否存在一点 D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在， 求出点 D 的坐标； y
若不存在，请说明理由 .
A
B
[ 解 ] （ 1 ）如图，连结 PB，过 P 作 PM⊥ｘ 轴，垂足为 M.
O·
x
P（ 1，－ 1）
C 在 Rt △ PMB中， PB=2,PM=1,
Y
[ 解 ] （ 1 ）由题意， A(0 ， 1) 、 C(4 ， 3) 确定的解析式为：
D P
A
y= 1 x +1.
2
O
将点 E 的坐标 E( 15 ， 23 )代入 y= 1 x +1 中，左边 = 23 ，右
48
2
8
= 1 ×15 +1= 23 ，
24
8
1 ∵左边 = 右边，∴点 E 在直线 y= x+1 上，即点 A 、 C、 E
2
在一条直线上 .
C
B X
边
（ 2 ）解法一：由于动点 P 在矩形 ABCD 内部，∴点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标，
而点 A 与点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口
向下
解法二：∵抛物线
y= ax 2+b x+c 的顶点 P 的纵坐标为
4a — b2 ，且 P 在矩形 ABCD
1 ∴S△AE′C= S△BDE′ BD E F
2
1 3k
2
2 3k
∴S=3+ k 为所求函数解析式 .
证法三： S△DE′C∶S△AE′C= DE′∶AE′＝DC ∶AB =1 ∶２
同理： S△DE′C∶S△DE′B=1 ∶ 2, 又∵S△DE′C∶S△ABE′= DC 2∶AB 2 =1 ∶４
∴S AE C
1 得： E′F=2
AB DC
E F DF
1
方法一：又∵ E′F∥AB
，∴ DF DB
AB DB
3
1 S△AE′C= S△ADC - S△E′DC= DC DB
2
1 DC DF
2
1 DC
2
1 = DC DB =DB=3+ k
3
2 DB
3
S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴S△BCA= S△BDA
方法二：由 D（ 1 ， 0）， A（ -2 ， -6 ），得 DA 直线方程： y =2 x -2 ①
再由 B（ -2 ， 0）， C（ 1， -3 ），得 BC 直线方程： y=- x- 2 ②
x0
联立①②得
y2
∴E 点坐标（ 0 ， -2 ），即 E 点在 y 轴上
3
（ 2 ）设抛物线的方程 y = ax 2+ bx + c(a≠ 0) 过A （ -2 ， -6 ）， C（ 1 ， -3 ）
2 9 S梯形 ABCD
21 AB CD
92
BD 3 k
4
∴S=3+ k 为所求函数解析式 .
2. （ 2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点
M （ 1， 0 ）为圆心、
直径 AC 为 2 2 的圆与 y 轴交于 A 、 D 两点 .
（ 1 ）求点 A 的坐标；
（ 2 ）设过点 A 的直线 y ＝ x＋ b 与 x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否⊙Ｍ 的切线？
y
8
N .试问：在 x 轴上是否存在点 P，使得△PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角
三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 .
[ 解 ] (1) 在 Rt △ABC 中， OC ⊥ AB ，
∴△AOC ≌△COB . ∴OC 2＝ OA ·OB .
∵OA ∶OB ＝ 3 ∶ 1C, (0, 3 ),
4a
4a — b2
b2
b2
内部， ∴1＜
＜ 3 ，由 1 ＜ 1 — 得— ＞ 0，∴a＜ 0 ，∴抛物线的开口向下 .
4a
4a
4a
（ 3 ）连接 GA 、FA ，∵S△GAO — S△FAO =3
∴1 GO ·AO — 1 FO ·AO=3
2
2
∵OA=1 ，
又点 D （ 0 ，－ 2 ）在抛物线 y x 2 2x 2 上，故存在点 D （ 0，－ 2 ），
使线段 OC 与 PD 互相平分 .
4.（ 2004 湖北襄樊） 如图，在平面直角坐标系内，
ABCR的t △直角顶点 C（ 0， 3 ）
在 y 轴的正半轴上， A、 B 是 x 轴上是两点，且 OA ∶OB ＝ 3 ∶ 1 ，以OA 、 OB 为直
(2) EF 与⊙ O 1、⊙ O 2 都相切 .
3 x2
2 3x
3.
3
3
证明：连结 O 1E、 OE、 OF.
∵∠ECF＝∠AEO ＝∠BFO＝ 90 °，
∴四边形 EOFC 为矩形 .
∴QE＝ QO .
∴∠ 1 ＝∠ 2.
∵∠ 3 ＝∠ 4, ∠ 2+ ∠ 4 ＝ 90 °，
∴EF 与⊙ O 1 相切 .
1