一元函数微分与中值定理类型一：高阶导数问题 1、研究函数10()0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩的各次可微性（7P63）当0x ≠时，归纳假设12()1()()x n n f x P e x-=，再利用导数定义归纳得出0点处的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩）用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专）38、设41x y x =-，求(2001).y （10P204京13专）将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设y x =，求()(0).n y （10P307北建88）（曹庆梅）转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f（10P342北京防化 92）利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕）65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）82、已知sin x y e x =，求().n y （9P74）（任玉祥） 归纳（不要用莱布尼兹公式） 类型二：导数的应用 涉及方程的根的问题：5、若10021na a a n +++=+，试判定010n n a a x a x +++=在(0,1)内必有实根（7P78）（俞琼） 令2110()21n n a a f x a x x x n +=++++，利用罗尔定理求证. 14、设函数()f x 在[,)a +∞内二次可微，()0,f x ''≤又()0,()0f a f a '><，证明：()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根。
（7P99）（肖敏）利用单调性和零点定理证明，（凸函数在其切线下方.） 35、设10()n n f x a x a x a =+++是是系数多项式，2n ≥，且某个0(11)k a k n =≤≤-及当i k ≠时，0i a ≠，证明：若()0f x =有n 个相异的实根，则10.k k a a -<（10P179京12）罗尔定理，单调性，极值，反证41、设常数1,0.a b >>为使方程log b a x x =存在实根，求,a b 应满足的条件 （10P239京15丙）（罗勤）42、证明方程3243610x x x +-+=在(0,1)内至少有一个实根（10P241广东91）罗尔定理（原函数）或介值定理（求最小值点）. 48、设正整数1n >，证明：方程22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个实根。
（10P270天津04） 广义零点定理.51、设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围。
（10P285江苏04专） 84、证明方程2100!kn k x k +==∑有且仅有一个实根，其中n 为自然数。
（9P85）（汪超）直接利用零点定理，其根的唯一性难以判定（导函数的符号）；引入指数函数作辅助函数.方程200!knk x k ==∑无实根。
79、讨论方程34310x x --=的实根个数。
（9P67）（向妙峰） 找特定根，由罗尔定理反证69、若a 是一个正常数，证明方程212xx ae x =++恰有一个实根。
（10P415美国）83、若()f x 在(,)-∞+∞上可导，且()()0f x f x '+>，试证：()f x 至多只有一个零点。
（9P83）（周燕） 利用指数函数构造同解方程. 其他：13、已知0,a >试证：11()1||1||f x x x a =+++-的最大值为2.1a a++（7P95） 分段求最值.17、设()f x 是可导函数，对于任意实数,s t ，有()()()2f s t f s f t s t+=++，且(0)1.f '=求函数()f x 的表达式（10P33京3）由导数定义，建立方程.（罗勤） 19、若()f x 对于一切u v≠均有()()()()f u f v f u f v u vαβ-''=+-，其中,0,1αβαβ>+=试求()f x 的表达式（10P44京4）（曹庆梅）,u v 互换，建立方程组，讨论a β≠20、设函数()f u 在内可导 ，且(0)0f =，又101(ln )1x f x x <≤⎧⎪'=>，求出()f u 的表达式。
（10P48京5）22、设0,y x >>求证：.yx x y y x >（10P57京5）取对数，分情况讨论23、由直线0,8y x ==及抛物线2y x =围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使去现在该点处的切线与0,8y x ==所围成的三角形面积最大。
（10P65京5专）24、设函数()f x在上有定义，对任意x ，都有(1)2().f x f x +=且当01x ≤≤时，2()(1).f x x x =-试判断在0x =处，()f x 是否可导（10P67京6） 27、已知函数()f x 在x =的某个邻域内有连续的导数，且20sin ()lim()2x x f x x x→+=，试求 (0),(0).f f '（10P82京7）33、求数列1{}nn -中的最小项。
（10P167京11专） 考虑函数1xy x -=的最小值（余琼）34、设()f x 在点0x =可导，且()0cos 1lim 11f x x x e→-=-，求(0)f '（10P167京12） 36、()y f x =二阶可导，且(4)(0)dyy y dxββ=->，若()y f x =的一个拐点0(,3)x ，则β（10P188京13） 45、设函数()0g x '≠ ()cos 0()0x x x f x xa x ϕ-⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()x ϕ具有连续二阶导函数，且(0) 1.ϕ=（1）确定a 的值，使函数()f x 在0x =处可导，并求()f x '（2）讨论()f x '在0x =处的连续性。
（10P261天津03）56、研究函数[]y x x =的可导性，如有不可导点，要讨论左右导数是否存在（10P317西安交大89）（范玉琴）68、假定()f x 是一个连续的实函数，使()f x '在0x ≠时，存在，并且0lim ()x f x →'也存在。
证明：(0)f '存在（10P415美国）68、假定()f x 是一个连续的实函数，使()f x '在0x ≠时，存在，并且0lim ()x f x →'也存在。
证明：(0)f '存在（10P415美国）78、已知y =+，求.y '（9P24）85、设()f x 是7次多项式，若()1f x +能被4(1)x -整除，()1f x -能被4(1)x +整除，求().f x （9P89） 88、设()f x 在(0,)+∞上有定义，()f x 在1x =处可导且(1) 4.f '=若对所有120,0x x >>有121221()()().f x x x f x x f x =+试证：()f x 在(0,)+∞上可导，并求()f x 及().f x '（9P193）89、设n 为自然数，试证：1111(1)(1)(1)(1).212n n e n n n n++<<+++（9P200） 96、设0p >，证明对正整数n ，有11(1)12.11p p p p pn n n p p +++<+++<++（9P265）（关倩）类型三：中值定理证明等式或不等式 证明等式：10、设区间(,)I a b =，任给x I ∈，有()0,f x ''=则任给x I ∈，有().f x cx d =+（7P82）求该二阶微分方程.15、设函数()f x 在(,)a +∞内有二阶导数，且(1)0,lim ()0,lim ()0.x x a f a f x f x +→+∞→+===求证.在(,)a +∞内至少有一点ξ，满足()0.f ξ''=（10P9京1）（马蓉） 充分利用极限的定义构造罗尔定理25、设函数()f x 在[0,1]上可导，且(0)0,(1) 1.f f ==证明：存在两点12,[0,1]x x ∈，使得12112.()()f x f x +=''（10P69京6）由介值定理找出1().2f ξ=28、考察函数3240()2101x f x x x x x ⎧⎪-≤<=⎨--+≤≤⎪⎩在[4,1]-上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，则求出结论中的ξ。
（10P119京8） 30、设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0.2a b π≤<≤证明在(,)a b 内至少存在两点12,ξξ，使得2211sin ()tan ().2cos a b f f ξξξξ+''=（10P146京10）（陈萍）37、设()f x 在[0,1]上有二阶导数，且(1)(0)(1)(0)0f f f f ''====，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()().f f ξξ'''=（10P190京13）43、设函数()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，其中0a >，()0f a =，试证明：在(,)a b 内必有一点ξ，使得()().b f f aξξξ-'=（10P245广东91）47、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1) 1.f f ==试证明：对于任意给定的正数,a b ，在开区间(0,1)内存在不同的两点,ξη，使得.()()a ba b f f ξη+=+''（10P262天津03）49、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，()()0,()0ba f a fb f x dx ===⎰，求证：（1）在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()f f ξξ'=；（2）在(,)a b 内至少有一点,ηηξ≠，使得()().f f ηη''=（10P278江苏04）50、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，221(),()()2baf a a f x dx b a ==-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()() 1.f f ξξξ'=-+（10P285江苏04专） 52、设12n a a a <<<为n 个不同的实数，函数()f x 在1[,]n a a 上有n 阶导数，并满足12()()()0n f a f a f a ====，则对每个1[,]n c a a ∈，都相应的存在1(,)n a a ξ∈满足()12()()()()().!n n c a c a c a f c f n ξ---=（10P290浙大82）58、设函数()f x 在[2,2]-上二阶可导，且|()|1f x ≤，又22(0)[(0)]4f f '+=， 试证：在(2,2)-内至少存在一点ξ，使得()()0.f f ξξ''+=（10P324上海交大 91）中值定理，辅助函数22F f f '=+。