第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。

教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。

教学内容：一、罗尔定理 1. 罗尔定理几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线)(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。

从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。

为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f .证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.于是对于)(00x U x x ∈∆+,有)()(00x f x x f ≤∆+, 从而当0>∆x 时, 0)()(00≤∆-∆+xx f x x f ; 而当0<∆x 时,0)()(00≥∆-∆+xx f x x f ;根据函数)(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤∆-∆++→∆xx f x x f x==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥∆-∆+-→∆xx f x x f x所以0)(0'=x f , 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M=，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f =由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M>，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个.例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f .例如 ⎩⎨⎧=∈-=0,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条件，但在区间]1,0[上不存在使得0)(='ξf 的点 例如].1,0[,∈=x x y 除了)1()0(f f ≠外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条件，但在区间]1,0[上不存在使得0)(='ξf 的点 又例如]23,2[,cos ππ-∈=x x y 满足定理的一切条件，而πξ,0=2．罗尔定理的应用罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式. 例2 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设15)(5+-=x x x f , 则)(x f 在]1,0[上连续，且.3)1(,1)0(-==f f由介值定理存在)1,0(0∈x 使0)(0=x f , 即0x 为方程的小于1的正实根.设另有,),1,0(011x x x ≠∈使.0)(1=x f 因为)(x f 在10,x x 之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个ξ（在10,x x 之间）使得0)(='ξf . 但)1(5)(4-='x x f ))1,0((,0∈<x , 矛盾, 所以0x 为方程的唯一实根.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）. 二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。

如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立.几何意义:上述等式可变形为ab a f b f f --=')()()(ξ，等式右端为弦AB 的斜率, 于是在区间],[b a 上不间断且其上每一点都有不垂直于x 轴切线的曲线上，至少存在一点C ，使得过C 点的切线平行于弦AB. 当)()(b f a f =时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.分析与证明：弦AB 的方程为 ).()()()(a x ab a f b f a f y ---+= 曲线)(x f 减去弦AB ，所得曲线AB 两端点的函数值相等. 作辅助函数)]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x F ---+-=于是)(x F 满足罗尔定理的条件，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF .又ab a f b f x f x F ---'=')()()()(, 所以a b a f b f f --=')()()(ξ即在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ.证毕说明: 1. ))(()()('a b f a f b f -=-ξ又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于a b <也成立;2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导时, 若),(,00b a x x x ∈∆+, 则有)10()()()(000<<∆⋅∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f当)(x f y=时, 也可写成).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y试与微分x x f dy ∆⋅'=)(比较: x x f dy ∆⋅'=)(是函数增量y ∆的近似表达式, 而)10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθxx x f y 是函数增量y ∆的精确表达式. 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论 若函数)(x f 在区间I 上导数恒为零，则)(x f 在区间I 上是一个常数. 2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例3 证明)11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π证明：设]1,1[,arccos arcsin )(-∈+=x x x x f由于0)11(11)(22=--+-='xxx f , 所以]1,1[,)(-∈≡x C x f再选一个特殊的x 值确定C 的值，今取x=0，有 又0arccos 0arcsin )0(+=f 20π+= 2π=, 即2π=C . 故2arccos arcsin π=+x x .例4、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，试证明：在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ, 使得)(')(ab )(a )(b ξξξf f a f b f +=--分析：根据求证式形式，构造函数：)()(F x xf x =，对其求导：)(')()(F'x xf x f x += 所以欲证等式正是函数)()(F x xf x =在区间],[b a 应用拉格朗日中值定理的结论。

证明：设函数：)()(F x xf x =，对其求导：)(')()(F'x xf x f x +=由题设知，函数)()(F x xf x =在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ, 使得)('F ab )(F )(F ξ=--a b即)(')(ab )(a )(b ξξξf f a f b f +=--例5、 证明当0>x 时,x x xx<+<+)1ln(1 证明: 设)1ln()(x x f +=, 则)(x f 在],0[x 上满足拉氏定理的条件 于是)0(),0)(()0()(x x f f x f <<-'=-ξξ又xx f f +='=11)(,0)0(, 于是 ξ+=+1)1ln(x x而x <<ξ0, 所以x +<+<111ξ, 故11111<+<+ξx 从而 x x x x <+<+ξ11, 即x x x x <+<+)1ln(1 三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x g 满足在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立 几何解释: 设曲线弧C 由参数方程⎩⎨⎧==)()(x f Y x g X (b x a ≤≤)表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C 上必有一点ξ=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB , 曲线C 上点ξ=x 处的切线的斜率为)(')(ξξg f dXdY '=, 弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --. 于是)(')()()()()(ξξg f a g b g a f b f '=--, 即在曲线弧AB 上至少有一点))(),((ξξf g C ,在该点处的切线平行于弦AB.1C证明: 作辅助函数)]()([)()()()()()()(a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ则)(x ϕ满足罗尔定理的条件，于是在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξϕ, 即0)()()()(='---'ξξF ab a f b f f , 所以)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.证毕 特别地 当x x F =)(时, 1)(,)()(='-=-x F a b a F b F由)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- 有)()()(ξf a b a f b f '=-- 即))(()()(a b f a f b f -'=-ξ, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例5 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ证明与分析: 结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ=''=x x x f )()(2设2)(x x g =，则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 即)]0()1([2)(f f f -='ξξ)(2ξF )(a F A四、 小结罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 注意中值定理成立的条件. 五、作业作业卡: P24~P27第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求00型和∞∞型以及∞-∞∞⋅,0型未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞⋅,0型的极限的求法. 教学内容：一． 00型和∞∞型未定式的解：法洛必达法则定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 x x x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型).定理：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ; (3))()(lim)(x F x f x a x ∞→→存在(或无穷大), 则)()(lim )()(lim x F x f x F x f ax ax ''=→→定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 证明: 定义辅助函数⎩⎨⎧=≠=a x a x x f x f ,0),()(1, ⎩⎨⎧=≠=a x ax x F x F ,0),()(1在),(δa U ︒内任取一点x , 在以a 和x 为端点的区间上函数)(1x f 和)(1x F 满足柯西中值定理的条件, 则有)()()()()()(a F x F a f x f x F x f --=)()(ξξF f ''=, (ξ在a 与x 之间) 当0→x 时,有a →ξ, 所以当A x F x f a x =''→)()(lim , 有A F f a =''→)()(lim ξξξ 故A F f x F x f a a x =''=→→)()(lim )()(lim ξξξ. 证毕说明: 1.如果)()(lim x F x f a x ''→仍属于00型, 且)(x f '和)(x F '满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即Λ=''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(limx F x f x F x f x F x f a x a x a x ;2.当∞→x 时, 该法则仍然成立, 有)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→;3.对a x →（或∞→x ）时的未定式∞∞，也有相应的洛必达法则;4. 洛必达法则是充分条件;5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例1 求x x x tan lim0→, (0型)解 原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim20=→x x例2 求123lim 2331+--+-→x x x x x x , (00型) 解 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 23例3 求 xx x 1arctan 2lim -+∞→π, (00型)解 原式=22111limxx x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1 例4 求 bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型).解 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅→= ax bxx cos cos lim 0→=1例5 求 xx x 3tan tan lim 2π→, (∞∞型)解 原式=xx x 3sec 3sec lim 222π→= x x x 222cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→π = x x x 2sin 6sin lim 2π→= 32cos 26cos 6lim 2=→x xx π注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 求xx x x x tan tan lim20-→解 原式= 30tan lim x xx x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31二．0,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型.1．∞⋅0型未定式的求法 步骤：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ 例7 求.lim 2xx e x -+∞→ )0(∞⋅型解 原式=2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→2lim xx e+∞→=.+∞=型∞-∞.2步骤：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒ 例8 求 ).1sin 1(lim 0xx x -→ )(∞-∞型解 原式=xx xx x sin sin lim 0⋅-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0=型00,1,0.3∞∞步骤： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒例9 求.lim 0x x x +→ )0(0型解 原式=xx x eln 0lim +→xx x eln lim 0+→=xxx e 1ln lim 0+→=2011lim xxx e-+→=0e =.1=例10 求.lim111xx x-→ )1(∞型解 原式=x xx eln 111lim -→xx x e-→=1ln lim111lim 1-→=x x e .1-=e例11 求.)(cot lim ln 10xx x +→ )(0∞型解 由于)ln(cot ln 1ln 1)(cot x xxex ⋅=而)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→xxx x 1sin 1cot 1lim 20⋅-=+→x x x x sin cos lim 0⋅-=+→1-=所以 原式=.1-e注意：洛必达法则的使用条件． 例12 求.cos limxxx x +∞→解 原式=1sin 1limx x -∞→).sin 1(lim x x -=∞→极限不存在（洛必达法条件不满足的情况） 正确解法为 原式=)cos 11(lim x x x +∞→.1= 例13 求)]24([tan lim nnn +→∞π解 设)]24([tan )(x x f x +=π，则)]24([tan )(n n f n +=π因为)]24tan(ln lim exp[)(lim xx x f x x +=+∞→+∞→π=]1)24tan(ln limexp[x x x ++∞→π])24tan(1)2)(24(sec lim exp[222x xx x x +--+=+∞→ππ=4e 从而 原式=4)(lim )(lim e x f n f x n ==+∞→∞→三．小结1． 洛必达法则是求00型和∞∞型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。