习题77-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)？(2)这种平衡与三角形的边长有无关系？ 解: 如题7-1图示(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷解得 q q 33-=' (2)与三角形边长无关．题7-1图 题7-2图题7-2图7-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如题7--2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量. 解: 如题7-2图示 解得θπεθtan 4sin 20mg l q =7-3 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为＋q 和－q .则这两板之间有相互作用力f ，有人说2204q f d πε=，又有人说，因为f ＝qE ，0q E S ε=，所以20q f Sε=试问这两种说法对吗？为什么？f 到底应等于多少？解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S qE 0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S qE 02ε=，另一板受它的作用力Sq S qq f 02022εε==，这是两板间相互作用的电场力． 7-4 长l ＝15.0 cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度95.010C m λ-=⨯的正电荷.试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1 5.0a cm =处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2 5.0d cm =处Q 点的场强. 解： 如题7-4图所示题7-4图(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为 用15=lcm ，9100.5-⨯=λ1m C -⋅, 5.12=a cm 代入得21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 方向水平向右(2)同理2220d d π41d +=x xE Q λε 方向如题7-4图所示由于对称性⎰=lQxE 0d ，即Q E ϖ只有y 分量， ∵ 22222220dd d d π41d ++=x x x E Qyλε以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得21096.14⨯==Qy Q E E 1C N -⋅，方向沿y 轴正向7-5 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？解: (1)由高斯定理0d εqS E s⎰=⋅ϖϖ立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量06εq e =Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量06εqe =Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εqe =Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．如题7-5(a)图所示．题7-5(3)图题7-5(a)图 题7-5(b)图 题7-5 (c)图7-6 均匀带电球壳内半径6 cm ，外半径10 cm ，电荷体密度为53210C m -⨯.试求距球心5cm,8cm 及12 cm 的各点的场强.解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E sϖϖ,02π4ε∑=q r E当5=rcm 时，0=∑q ,0=E ϖ8=r cm 时，∑q 3π4ρ=3(r )3内r -∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=rr r E ερ内外 1C N -⋅ 沿半径向外. 7-7 半径为1R 和2R (21R R >)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和－λ，试求：(1) 1r R <；(2) 12R r R <<；(3) 2r R >处各点的场强.解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E sϖϖ取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl Sπ2=则 rl E S E S π2d =⋅⎰ϖϖ对(1) 1R r <0,0==∑E q(2) 21R r R << λl q =∑∴ rE 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r > 0=∑q∴0=E7-8 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为σ和-σ，试求空间各处电场强度。

解：两面间，n n E ϖϖϖ00)]([21εσσσε=--= σ面外， 0)]([210=---=n E ϖϖσσεσ-面外， 0)]([210=-+=n E ϖϖσσεn ϖ：垂直于两平面由σ面指为σ-面7-9 如题7-9图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为＋q ，－q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力做的功. 解: 如题7-9图示∴ Rqq U U q A o C O 00π6)(ε=-=题7-9图 题7-10图7-10 如题7-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中心O 点处的场强和电势.解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点E ϖd 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向题7-10图R 0π4ελ=［2sin π)2sin(π--］(2)AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O7-11两个平行金属板A 、B 的面积为200cm 2，A 和B 之间距离为2cm ，B 板接地，如图7-11所示。

如果使A 板带上正电7.08⨯10-7C ，略去边缘效应，问：以地的电势为零。

则A 板的电势是多少?解：如图7-11所示，设平行金属板A 、B 的四个面均匀带电的面电荷密度分别为4321,,,σσσσ接地时04=σ对于平行金属板A 中的a 点有对于平行金属板B 中的b 点有得到：01=σ，04=σ，2532/1054.3m C -⨯=-=σσ平行金属板A 、B 之间的电场强度大小为02εσ=E A 板的电势V Ed U 4108⨯==7-12 两个半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： （1）外球壳上的电荷分布及电势大小；（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势。

解: (1)内球壳带电q +；外球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势⎰⎰∞∞==⋅=22020π4π4d d R R Rqr r q r E U εεϖϖ题7-12图(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：7-13 在半径为R 1的金属球之外包有一层外半径为R 2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为εr ，金属球带电Q 。

试求：（1）电介质内、外的电场强度； （2）电介质层内、外的电势； （3）金属球的电势。

解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅ii Sq S D ϖϖd(1)介质内)(21R r R <<场强303π4,π4r rQ E r r Q D r εεϖϖϖϖ==内; 介质外)(2R r >场强 (2)介质外)(2R r >电势 介质内)(21R r R <<电势 (3)金属球的电势7-14 计算球形电容器的电容和能量。

已知球形电容器的内外半径分别为R 1和R 2,带电量分别为Q 和-Q 。

为简单起见，设球内外介质介电常数均为ε0。

解：21R r R <<， r r Q E ϖϖ304πε=1R r <和2R r >, 0=E ϖ体积元dr r dV 24π= 能量⎰=VwdV W⎰=21d π4)π4(2122200R R r r rQ εε 电容器的电容WQ C 22=121202104)11/(π4R R R R R R -=-=πεε7-15 如题7-15图所示，10.25C F μ=，20.15C F μ=，30.20C F μ=，1C 上电压为50 V.求：AB U.题7-15图解: 电容1C 上电量电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴ 355025231123232⨯===C U C C Q U。