§ 2 实数基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则
确界原理 ;
Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ;
Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .
一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).
1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:
定理 1 单调有界数列必收敛 .
2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.
推论1 若是区间套确定的公共点, 则对,
当时, 总有.
推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, .
3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
定理 3 数列收敛是Cauchy列.
引理Cauchy列是有界列. ( 证 )
定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅
读 . 现采用三等分的方法证明,
该证法比较直观.
4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：
定理5 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .
证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确
界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是
的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则,
收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.
下证.用反证法验证的上界性和最小性.
二. “Ⅱ”的证明:
1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:
定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证（突出子列抽取技巧）
定理7 每一个有界无穷点集必有聚点.
2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：
定理8 数列收敛是Cauchy列.
证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.
“Ⅲ”的证明:
1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:
2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:。