第十六讲、无穷小量与无穷大量
定义16.1 . （I）若l im ( ) 0x→x f x
=，则称f(x )为
x→x f x =，则称
f(x )为
x →x 时的无穷小量.
（II）若当x →x0 ，f(x )发散到∞（或±∞）（即x→x f x =∞，
lim ( )
lim ( ) lim ( ) x →x 时的无穷大量x→x f x =+∞，x→x f x =−∞），则称f(x )为
0 0
注记16.1. (I) 无穷小量及无穷大量概念实际上是描述变量的一种状态；
(II) 当说到无穷小量或无穷大量时，一定要指出自变量的变化过程. 如1
x 当x →∞时为无穷小量，当x →0时为无穷大量，而当x →1时不是无穷
小量，也不是无穷大量；
（III）上述无穷小（大）量的定义中，变量x →x0 可以换成x →∞，
x →
−∞，
x→x 等。
另外，对于离散变量也可以定义无穷小（大）量，
0 +x →x 等。
另外，对于离散变量也可以定义无穷小
（大）量，
例如可以说n →∞时，n + sin n 是一个无穷大量。
例子16.1 : （I）因为−=于是变量x −1当x →1时为无穷小量;
lim( x 1)0,
x→1
1
（II）由于=故变量
lim 0,
x→∞x
1
x
当x →∞时为无穷小量;
（III）由于 1
lim +
=∞
→
1
−
x 1- x ，故变量
1
1−x
当x →1-时为无穷大量.
定理16. 1. 设f (x), g(x)为x →x0 时的无穷小量。
设x→x h x =a ≠，
lim ( ) 0
| s(x) |≤M < +∞，x∈U x c 。
则
o
( ; )
（I）f (x) ±g(x) 为x→x 时的无穷小量；
（II）f (x)s(x) 为x →x0 时的无穷小量；
（III）f (x)
h(x)
为x →x0 时的无穷小量。
证明：由已知条件，我们有l im ( ) 0 lim ( ) 0
x→x f x =及x→x g x
=。
x→x f x =及x→x g x
=。
0 0
于是由定理14.1（I）（III），我们有
x→x f x ±g x =x→x f x ±x→x g x =+=
lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) 0 0 0
0 0 0
lim f (x)
f (x) 0
lim 0
===
x→x
x→x
h(x) lim h(x) a
x→x
此即证得（I）和（III）。
对于（II），证明如下：任取ε> 0 ，由于
0 <δ<c 使得l im ( ) 0x→x f x =，故存在
x→x f x =，故存
在
| f (x) − 0 |<ε / M ，x∈U o x
δ。
( ; )
x∈U o x δ时我们
有于是，当( 0; )
ε
ε| f (x)s(x) 0 | | f (x) || s(x) | M
−<<⋅=，
M
此即
lim ( ) ( ) 0
x→x f x s x =。
证毕。
注记16.2.由定理16.1 可得
(I) 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；(II) 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；
（III）上述x →x0 可以换成x →∞，x →−∞，x→x 等状态。
0 +x →x 等状态。
定理16.2 . ( 无穷小量与函数极限的关系)
lim ( )x→x h x =a当且仅当h(x) −a 为
x→x h x =a当且仅当h(x) −
a 为
0 x →x 时的无穷小量。
证明: （充分性）如果h(x) −a 为x→x 时的无穷小量，则由定理14.1（I）
lim h(x) lim ((h(x) a) a)
=−+
x→x x→x
=−+=+=。
lim (h(x) a) lim a 0 a a
0 0
x→x x→x
0 0
（必要性）若l im ( )x→x h x =a，则由
定理14.1（I）
x→x h x =a，则由定理14.1
（I）
lim ( ( ) ) lim ( ) lim 0 x→x h x −a =x→x h x −x→x a =a −a =。
0 0 0
证毕。
注记16.3. 在上述定理9.2 中，x →x0 可以换成x →∞，x →−∞，
等状态。
x→x 0+
0+
例子16.2. 证明若l im ( )
x→x f x =A及
x→x f x =A
及
0 lim ( )x→x g x =B，则
x→x g x =B，
则
x→x f x g x =AB 。
lim ( ( ) ( ))
证明：由定理16.2，只需证明：f (x)g(x) −AB 为注意到x→x 时的无穷小量。
f (x)g(x) (( f (x) A) A)((g(x) B) B)
=−+−+
=−−+−+−+
( f (x) A)(g(x) B) B( f (x) A) A(g(x) B) AB 故有
f (x)g(x) AB (( f (x) A) A)((g(x) B) B)
−=−+−+
=−−+−+−
( f (x) A)(g(x) B) B( f (x) A) A(g(x) B)
从而x→x f x g x −AB =，i.e., f (x)g(x) −AB 为lim ( ( ) ( ) ) 0
0 x →x 时的无穷小量。
由定理16.2，16.1 可知上述等式右边为无穷小量。
证毕。
1
例子16.3. 计算 2
lim x sin .
x
x 0
→
解：因为lim x2 0,
=
x 0
→
可得
1 = lim x sin 0.
2
x
x→ 0 sin
1
x在
U o (0;1)中有界, 由定理16.1（II）
定理16.3. （I）若f (x) 为穷小量；x →x 时的无穷大量，则
1
f (x)
为x →x0 时的无
（II）若f (x) 为
x→x时的无穷小量并且f (x) ≠
0 ，
0x∈U o x c ，
( ; )
则
1
f (x)
为x →x0 时的无穷大量；
lim ( )
x→x f x =∞，故对任意ε> 0 ，存在δ> 0 使得
证明：（I）由已知
1
| f (x) | ( ; )
>，对任意x∈U o x δ成立。
ε
从而
1 1
−=<ε，对任
意
f (x) f (x) x∈U x δ成立。
o
( ; )
即
1
lim 0
=，从而
x→x f x
( )
1
f (x)
为x →x0 时的无穷小量。
（II）由已知l im ( ) 0x→x f x =
并且f (x) ≠ 0 ，
x→x f x =并且f (x) ≠
0 ，
0 x∈U o x c 。
故对任意M > 0 ( ; )
，存在0 <δ<c 使得
1
0 f (x) 0
<−<，对任意
M x∈U o x δ成立。
( ; )
从而
1 1
−=>，对任意
0 M
f (x) f (x) x∈U o x δ成立。
( ; )
即
1
lim
x→x f x
( )
=∞，从而
1
f (x)
为x →x0 时的无穷大量。
注记16.4. 上述有关无穷大量与无穷小量之间的相互关系，使我们能从有关无穷小量的相关结果导出相应的无穷大量的结果。
例如我们可以得到：
定理：设f (x) 为x→x 时的无穷大量，0 <a ≤| s(x) |≤b <
+∞，
0 x∈U o x c ，
( ; )
则f (x)s(x) 为x→x 时的无穷大量。
证明：这是因为由定理16.3（I）可得
1
f x 为
( )
x→x 时的无穷小量，而
1
s x 在
( )
U x c 内有界，从而由定理16.1（II）可得o
( ; )
1
f x s x 为为( ) ( )
x →x 时的无穷小量。
又0
1
f x s x 在
( ) ( )
x的某个去心邻域内非零，故由定
理16.3（II）可得f (x)s(x) 为x→x 时的无穷大量。
证毕。