则由对问题二的前一解的结论， h 4r 得 结论 ： 3 。
4 1 ，
5.结果分析 3 ）与我们对355ml可 易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（ 口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。 问题三 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： 在本问题中假设易拉罐如图3所示，即上面是正圆台，下面是正 圆柱体。
二、基本假设
1．本文研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，不考虑具体的用料 （假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。 2．易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆 柱体的结合”等等。 3．易拉罐的基本构造为“两片罐”。 4．实际测量允许有一定的误差。 (对不同问题的研究再作补充假设)。 5. 不考虑压强
r
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1， 用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料 设想为外体积减内体积，得用料模型：
min s ( r , h) g ( r , h) r 2 h v 0 s.t.r 0 h 0
用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下， 将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一 定而研究此正圆台的用料优化设计。 圆台面积 9v 2 2 2 s(r ) r ( R r ) 2 2 ( R r ) (r rR R 2 ) 2 用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。 结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实 际比较分析了各种原因。
2.符号说明： r：易拉罐的半径； h：易拉罐的高； v：易拉罐内体积（容积）； sv：易拉罐所用材料的体积； b：易拉罐除顶盖外的厚度； ：顶盖厚度参数，即顶盖厚度 b。 3.问题分析与模型 由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题， 可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见 图2）。 易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料
易拉罐形状和尺寸的最优设计
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报告人：刘璐 201231208
摘要
易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济 意义与实际意义。 对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部 分的数据。 对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比 为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型 s (r ) 2rd ( v 2 2r ),
v r h
则所需材料为
v s(r ) 2 rd ( 2 2r )r (0, ) r
2
模型求解，用微积分方法
'
令 s ' (r ) 0 讨论当 r 3 当 r 因此 故
3
3
v s (r ) 2 d ( 2 4r ) r ，解得 r 3 v 。 4
3．问题分析与模型 在本问题中，易拉罐的最优设计着眼于每个易拉罐用料最少。 因此需要考虑易拉罐的形状、尺寸和厚度，已假设易拉罐顶部厚 度是侧面厚度的3倍。 因此一个易拉罐所需材料为： 侧面的材料+底面的材料+顶部的材料 2 2 s 2 rhd r d 3 r d 即 2 rd (h 2r ) 假设易拉罐的体积V一定
时，
v 4
s (r ) 0
'
； ；
v 时， 4
s (r ) 0
'
v 是 4
s(r )
v 4
的极小值，而 r (0, ) 没有其它极值点， 是
r
3
s(r ) 的最小值点。
此时，易拉罐的直径
D 2r 2 3 v 4
易拉罐的高
v v h 2 r
3
(4 )2 v 3 4 4r 2D 2 v 4
用数学软件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm）， 得： 当r=1.467cm,h=1.93cm时， 正圆台表面积最小值s=45.07（ cm2 ）
结论：常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状 和尺寸变化用料最少的优化设计标准是：①总高度与底直径之比 为2：1， ②正圆台的高与上底直径之比约为2：3（即h：2r≈2： 3），相应易拉罐上下底直径之比为 2r : 2R 1: 2 。 4.结果分析 上述结果是不考虑其他因素，仅就易拉罐形状和尺寸变化， 考虑其基本用料最省的数学结论，对实际易拉罐的设计有一定参 考意义。 但上述结果与现今实际的易拉罐尺寸有出入，以可口可乐等 355ml易拉罐为例，其r=2.9cm h=1.2cm。 我们分析这种差异的原因是易拉罐的实际设计必须要考虑形 状和尺寸以外的其他各种因素。 ①加工工艺：可口可乐等铝制易拉罐是“两片”构成（即正圆柱体 侧面及底为一部
sv=( (r b)2 - r 2 )(h+(1+ )b)+b r 2 b r 2
将上式化简，有
sv(r, h) 2 rhb (1 ) r b 2 r(1 )b h b (1 )b
2 2 2
3
r ，则 b 2 , b3 很小，所以可将带 b 2 , b3 作简化，因为 b 的项忽略。 2 有 sv(r, h) s(r, h) 2 rhb r (1 )b 记 g (r , h) r 2 h v （v是已知的，即罐容积一定）。
三．模型的假设与求解
问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表：
常见易拉Байду номын сангаас尺寸（mm）
问题二 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： 在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体； 假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍； 体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。 2. 符号说明： h：易拉罐的高； r：易拉罐的上下底半径； d：易拉罐金属板的厚度； V：易拉罐的体积； D：易拉罐上下底直径。
求正圆台的面积得模型： 正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积
S r 2 (r R ) h 2 ( R r ) 2 1 h(r 2 rR R 2 ) 3 3V 即h (r 2 rR R 2 ) V
2 9 v 2 代入有S= r 2 (r R ) ( R r ) 2 2 2 (r rR R )
模 型 推 广
用该数学模型解决了现实问题，甚至解决了当前生产生活中 的一些技术难关，并将具体模型应用与实际生产中，给社会带来 一些经济效益。 就易拉罐的设计和尺寸的最优设计而言，考虑了易拉罐罐底 为何设计成弧形的拱面，这样设计对易拉罐设计有何作用，如何 设计易拉罐各部分材料的厚度和设计，并证明如何设计是最省的。
4.结果分析
上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一 定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是 最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的 355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，（比例2：1.06）， 其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统 一鲜橙多等其比例都如此。 又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。
得数学模型
min s(r , h)
g ( r , h) r 2 h v 0 s.t r 0 h0
4.模型求解 v 2 由约束条件 g (r, h) r h v 0 ，得 h r 2 ，代入目标函数 2v 2 s(r , h(r )) b (1 )r r 2b 令 3 s' 2 (1 ) r v 0 r v 得 r3 (1 ) 又因为 所以
问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚 度是其他部分厚度的3倍”。这是由实测数据得到，并认为是易拉 罐开口原理（即开口边缘切口，便于拉开），要求顶盖有一定的 厚度，现去除此假设，做一般地研究。
1.补充假设：
假设易拉罐是一个正圆柱体； 假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同（如图2）。
分，上密封盖为一部分，分别简称为“罐体”和“封盖”）。 将铝材罐体缩口形成上部圆台部分，为了使“封口盖”能扣紧 “罐体”。圆台侧面的坡度（斜率）有一定要求（如斜率~ 0.4）， 即为了封口盖的工艺要求，易拉罐上部侧面的（坡度）不能过小， （按数学优化计算则）。 同样是加工工艺的要求，若r较小，较小，即圆台侧面坡度小， 则从圆罐上口“缩口”成圆台形时，此加工也增加难度（如容易 起皱）。 ②外形美观：按上述数学优化计算，易拉罐上下底直径之比1：2， 虽然材料省，但上底开口小，形状就不美观。
2.符号说明 R：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）； r：易拉罐正圆台上底半径； h1：易拉罐正圆柱体高； V1：易拉罐正圆柱体容积； h ：易拉罐正圆台高； V：易拉罐正圆台容积。
3.问题分析与模型
因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状 和尺寸的最优设计是h=2D）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸， 若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的 圆柱体部分确定。所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台 部分的优化设计。以常见的可口可乐等355ml易拉罐为例，易拉 罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=35ml. 于是问题三转化为，已知易拉罐上部正圆台体积V一定，底半 径R一定时，其上底半径r和高h为何值（或r与h比例是多少）正 圆台的表面积最小，如图4：
关键词：易拉罐
最优设计
一、问题的提出
每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年 用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设 计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述 问题： 1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口 可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各 部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。 2：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结 果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例 如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正 圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说 明所测量的易拉罐的形状和尺寸。