P1
m 0.2873l r1, r2 , l, h 0

r2 r1

1,2 ,3 0
（2）考虑压强引起的底面弧度变化
上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有 上拱,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分 的焊接(粘合)很牢固、耐压。
对于上拱的底面，是为了耐压，从物理角度 分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表 面张力有拉平液面的趋势，从而对液体产生附 加压强。
3
m

a

r1
b2
r2
c2
r1
br2
c
s.t.
m 0.2873l r1, r2 ,l, h 0
（模型六为求解问题 三的完善模型）

r2 r1

1,2 0
问题四：自己设计易拉罐最优形状和尺寸模型
（1）考虑美观度的情形 在模型六的基础上引，入美
图3 各点罐壁厚度 相 同的含圆台易拉
罐
模型五:
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情
形 如图，易拉罐所需材料
Y
量为r22：h
3
m r12 r22
r1r2


r2

c2
h

d


3
m

a

r1

b2

r2

c2
r1 br2
c
min M

br2

c

s.t.
m 0.2873l r1, r2,l, h 0

r2 r1

a,b,c, d 0
图4有不同罐壁厚 度易拉罐的圆台
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形
由此可得
综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝
模型六：
长度也尽量取到最小。 焊缝长度：
j 1,2,3,4
四、模型分析
分分析析一二：：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶 问面题、一底：面对测、于量圆一十台个种侧体常面积见、给饮圆定料柱的的侧正易面圆拉的柱罐厚体的度，八。最项优指考标虑，材我料们最得省到，了求比解较其精最确优的设数计据：。首先，
r ——正圆柱体形易拉罐底面的半径；
r1 ——圆台上表面的半径； r2——圆台下表面的半径；
h ——易拉罐侧面的高度；
a ——易拉罐上顶的厚度；
b ——易拉罐； 圆台部的厚度；
c ——易拉罐侧面的厚度；
d ——易拉罐底面的厚度；
三、符号说明
j 1,2,3,4
l ——圆台的母线长度； Pj ——易拉罐的各种压强；
二、模型假设
模型 四个假设
1：易拉罐的 容积是一定 的；
2：所有材料 的密度都相同， 材料的价格与 其体积成正比；
3：拉环生产 成本固定， 不受易拉罐 形状和尺寸 的影响；
4：易拉罐圆 台部分顶盖 到侧面间的 坡度为 0.3[1]。
三、符号说明
M ——规划的目标函数；
S ——易拉罐的表面积； V ——易拉罐的体积；
min
M
1Y 2Z

1r22h

3
m
r12

r2 2

r1r2


r2

c
2
h

d


Z 2r1

1


3
m

a
r1

b2

r2

c2

r1

br2

c



2
2r1


V
r2

c
2
h

d


问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用 Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本T检验，说明实测数据与理论结果基本相符。
问题四：引入黄金分割点，综合考虑压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点 的新型易拉罐。
问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用 拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
考虑最简单的情况： 问形一题，定解为二分该约：别正易束将建圆拉条易立柱罐件拉了体各的罐以的点非分易表罐线为拉面壁性各罐积厚规处表最度划壁面小相模厚积时同型相、所，，同材对建检、料应立验壁体的模实厚积尺型测不、寸一数同材（：据以料半与及体将径理兼积表r和论顾和面高结不焊积h果同 缝的的吻壁长大比合厚度小值效与为作）果焊目为；较接标目好长函标。度数函三，数种容，情积求
模型二：
min M Y r 2 h r c2 h a d
V r c2 h a d
s.t.

a, c, d 0
图2 有不同罐壁厚 度的圆柱形易拉罐
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同
Y

r22h

3
m
r12

r22

r1r2
r2 c2h d

m
3
V
a
r2
r1
c2
b2
h d


r2 c2
m a
3

r1
r1 br2
b2 r2

c2
c
r1
2r3 sin 2 P r3 sin 2
1，设球形液面半径为 r3
单位长度液体表面的张力为 T
P 2 2 cos
r3
r2
（大小为液体的表面张力系
数则）小液块边线所具有的总张力向下分量为：
2r3 sin T sin 2r3 sin 2
P表示液体内外的压强差，则小液块所
受的向上的张力为： P r3 sin 2
图5 易拉罐的底面示意图
2，液体重力作用产生的压强： P2 gh 3，易拉罐内部气体压强为一定值： P3
易拉罐的底面积 为：
P r2 2 cos
易拉罐下表面所受到的压强为：
P4

3
m

a
r1

b2

r2

c2

r1

br2

c
Hale Waihona Puke 22r13
d h
0.618
由此可得 模型七：


V
r2
c2 h d
3
m a r1
b2
r2
c2
r1
br2
c
s.t.
• 3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱 体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明我们所测量的易拉罐 的形状和尺寸。
• 4.利用我们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸 的最优设计。
内容概要
七、模型评价与推广 二、模型假设
一、问题重述
六、模型求解
min M 1Y 2 Z 3
观度来描述易拉罐的外形是 否美观，考虑易拉罐的直径

1

r2
2
h


3
m
r12

r2 2

r1r2


r2

c2
h

d


和高度之比趋向于黄金分割 点，即：
d 0.618
h
取得最小值时即为最优解

1

工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。
根据模型分析，可得焊缝长度： Z 2r
将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以 将二者直接相加。
模型三： min M 1Y 2Z 1 r 2h r c2 h a d 2 2r
易拉罐各点罐壁厚度不同,建立模型二：以用料最少作为目标函数，通过拉格 问分题析朗三三四日：：乘分易日数上拉常法述罐生求三的活解种纵中易情断，拉形面消罐分费上的别者部最建更是优立青圆尺模睐台寸型于，；，美下再观部用大是拉方正格、圆朗安柱日全体乘方，数便逐法的步求产求得品解解。易析因拉解此罐之，的后在最，满优用足尺用寸， M建料a立最tla模省b型的6再.四前5进编、提一程五下步求、，考得六引虑结，入易果同黄拉，样金罐并通分焊用过割缝配和拉增对压格加样强朗的本日，工T乘建检作数立验量法优，。化求说在模解明模型。实型。验测二可证数的以结据基从果与础以，理上下把论建几实结立个际果模方数基型面据本三来代相：考入符将虑模。： 型（进一焊行）缝检增的验加长。美短观也度作，为引目入标黄函金数分之割一点，来同判样断通，过使拉得格易朗拉日罐乘的数外法形求达解到最最优优尺。寸； 问的（料（题新二，三把四型）作）它：易考出考作最引拉虑不虑为后入罐同改压衡，。类变黄强量我的金变易模们易分化拉型把拉割所罐求问罐点引的解题设起材，结一计的 料综果所。合底，好得考面例坏的虑弧如以数压度可及据强变以实代、化使际入环，用值进保不纸是行及质仅否检材材使合验料料用理，最，料的看省使最标理得，省准论设更，。值计环而与了保且实一，对际种更于值集安不是各全同否种。种吻优类合点饮， 问分题析五最：终对计作易算出拉过新罐程型形中易状的拉和优罐尺缺的寸点设的以计最及图优最。设优计模型综的合应考用虑与了推多广方。面的影响因素，并巧妙应用 拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。