【模块标题】点线面的位置关系【教材内容1】会判断空间中线线位置关系(3星)知识回顾：1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．比如下图中的,a b 即为异面直线．2．有了异面直线的定义，我们即可总结空间中两条直线的位置关系：位置关系 共面（相交） 共面（平行） 异面图形符号 a b P =//a b ,,a A b A b αα=⊂∉公共点个数 1特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在任何一个平面内3．公理4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行．4．定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）．<承接>通过例题及练习判断空间中直线与直线的位置关系． 例1．两条直线垂直，它们在空间中是什么关系（ ） A ．相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行 画出图像，解释线线关系如下：两直线垂直，可能有交点也可能没有交点，即可能是相交直线，也可能是异面直线． 例如上图中1AA 与AD 垂直，且相交；而1AA 与BC 垂直，但是没有交点，就是异面直线． 答案：C练1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能 请老师画图进行讲解. 答案：D例2.在正方体1111ABCD A B C D 中，与对角线1BD 既不相交又不平行的棱有( ) A ．3条 B ．4条 C ．6条 D ．8条 如图：平面1111A B C D 上的四条棱中有1111,A B B C ， 在平面ABCD 上的四条棱中有,AD CD ， 上下两底面之间的四条棱中，有11,AA CC ， 故与1BD 既不相交又不平行的棱共有6条．练2.与两条异面直线分别平行的两条直线的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．相交或异面 如图，借助长方体模型，1AA 与BC 异面，11111,AA CC DD BCB C ‖‖‖，但1111CC B C C ⋂=，1DD 与11B C 异面． 答案：D<承接>由正方体的展开图，你能找到线线的位置关系吗？例3.如图，是一个正方体的展开图，在原来正方体中，有下列命题： （1）,AB EF 所在的直线平行； （2）,AB CD 所在的直线异面； （3）,MN CD 所在的直线相交， 其中正确的命题是__________．<板书演示>通过展开图，想象立体图像中直线的位置，还原正方体，如下：如图可知：AB EF ⊥且异面；,AB CD 异面；,MN CD 异面． 练3.如图是正方体的平面展开图，有下列四个命题： （1）在原正方体中BM 与ED 平行； （2）在原正方体中CN 与BE 是异面直线； （3）在原正方体中CN 与BM 不垂直； （4）在原正方体中DE 与BM 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是_____________.答案：（3）（4）【教材内容2】会判断空间中直线与平面的位置关系 (3星)空间中直线与平面的位置关系：位置关系公共点个数图示符号表示直线在平面内 无数个l α⊂直线和平面相交 （特殊情况—垂直）有且仅有1个 l P α=直线和平面平行 无l α例4．已知直线a 不平行于平面α，给出下列四个结论： （1）α内的所有直线都与a 异面； （2）α内不存在与a 平行的直线； （3）α内的直线都与a 相交； （4）直线a 与平面α有公共点． 以上正确命题的序号是________．先分析题干，分析可能出现的几种位置关系，直线a 不平行于平面α，则可能出现的情况是直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内， 然后再逐一分析（1）、（2）、（3）、（4）， （1）也有可能平行、相交，（2）当a 在平面α内就存在与a 平行的直线， （3）也可能异面、平行， （4）正确．分析时加上图示，帮助学生理解． 答案：（4）练4．已知直线,a b ，平面α，满足a α⊆，则使得b α∥的条件是 ( )． A ．b a B ．b a 且b α⊄C ．,a b 异面D ．,a b 不相交本题答案易得出，老师可详细询问学生每个选项中可能得出的线面关系有哪些. 对于A ：b α 可能出现两种情况 1.平面α外的直线b α 2.平面内的直线b α 只有情况1能得到b α .对于B ：根据A 中的推导，属于第1种情况，成立． 对于C ：由,a b 异面可能得到 1.b α 2.b 与α相交．对于D ：由,a b 不相交可能得到： 1.b α ， 2.b 与α相交， 3.b α⊆． 答案：B例5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AB CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ）．A ．有无数条 Ｂ．有2条 Ｃ．有1条Ｄ．不存在先引导学生能不能把这种直线画出来，试过之后发现不行，只能找到两平面的公共点1D 那就只能分析题干条件：平面11ADD A 与平面1D EF 必然不平行，那就一定相交，一定有交线，那么在平面11ADD A 内就有无数条直线平行于交线，根据线面平行的判定定理，平行于交线就平行于平面，故有无数条． 答案：A<承接>通过例题，我们会发现有时候题目给出图像，效果就跟给出文字表述或者数学符号表示一样，推导位置关系才是关键．上题出现了两相交平面的交线，我们也知道了平面外的直线平行于交线就平行于平面，下面这个练习也跟两平面的交线有关，给2分钟时间大家自己思考．练5．已知l 是过正方体1111ABCD A B C D 顶点的平面11AB D 与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）．A ．11DB l B ．BD 平面11AD BC ．l 平面11AD B D ．11C B l 根据题意画出图像,可知D 错误．<承接>下面题目涉及平行及垂直知识点.例6.下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，是真命题的为( ) A ．若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥ B ．若l β⊥，且αβ ，则l α⊥ C ．若l β⊥，且αβ⊥，则l α D ．若m αβ⋂=，且l m ，则l α 由题意知,C D 选项中均有l α⊂的可能；A 选项中l β⊂，如果l 与,αβ的交线平行，则有l α ，故A 选项不正确． 答案：B练6.已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若,m ααβ ，则m β B ．若,m ααβ⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥ ，则m β⊥ D ．若,m ααβ⊥ ，则m β⊥ 答案：D练7设,l m 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若,l m m α⊥⊥，则l α⊥或l α B ．若,l γαγ⊥⊥，则l α 或l α⊂ C ．若,l m αα ，则l m 或l 与m 相交 D ．若,l ααβ⊥ ，则l β⊥或l β⊂ 答案：B【教材内容3】判定空间中平面与平面的位置关系 (3星)空间中平面与平面的位置关系，位置关系公共点个数图示符号表示平面和平面平行 无αβ平面和平面相交 （特殊情况垂直）无数个AB αβ=例7．已知直线a ，平面,αβ，且,a a αβ ，则平面,αβ的位置关系是________． 答案：平行或相交，借助长方体模型即得·<要点提炼>点线面位置关系这类题考察灵活多变，要想准确作出判断，需要做到以下两点：1. 对点线面位置关系要有准确的把握．2. 考虑全面，想象出所给位置关系的所有可能性，别遗漏某种情况．3. 如果想要有更形象直观的表达，我们可以借助正方体或长方体表达题中条件，然后进行判断．练8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a ，在β内总存在直线b a ，则α与β的位置关系是___________（填“平行”或“相交”）．假若l αβ⋂=，则在平面α内，与l 相交的直线a ，设a l A ⋂=，对于β内的任意直线b ，若b 过点A ，则a 与b 相交，若b 不过点A ，则a 与b 异面，即β内不存在直线b a ．故αβ ． 答案：平行例8．已知,a b 表示两条不同直线，,αβ表示两个不重合平面，则给出下列四个命题： ①,,a b αβαβ⊂⊂ ，则a b ； ②,,a b a b αβ ，则αβ ； ③,a αβα⊂ ，则a β ；④,a a αβ ，则αβ ． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 对于①，a b 或a 与b 是异面直线，故①错； 对于②，也可能是α与β相交，故②错； 对于④，同样α与β也可能相交，故④错； 只有③正确．答案：A练9．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面( ) A ．若,l l αβ ，则αβ B ．若,l l αβ⊥ ，则αβ⊥ C ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥ D ．若,l αβα⊥ ，则l β⊥ 答案：B<承接>接下来我们来看一类考试常考但学生常错的题.【教材内容4】点线定面及面分空间所成部分问题(4星)在立体几何部分我们经常碰到求一些点或直线能确定几个平面的问题，以及由某些直线能把平面分成几个部分，由某些平面能把空间分成多少个部分的问题．问题中经常还会加上至多、至少的字眼，下面一起来看看让学生头疼的问题.<承接>先来看点线定面的问题.解决这类问题需要注意两点．1.这类问题中通常会提到“确定”这个词，所以要明白“确定”的意思．如果平面α经过所给元素（点或直线）中的部分元素或全部元素，且经过这部分元素只有α一个平面，则我们称α被所给元素确定，类似α这样的平面有多少个，所给元素确定的平面就有多少个．αβγ，其中α被,a b确定，β被比如空间内经过同一点且两两垂直的三条直线,,a b c可以确定三个平面,,,b c确定，γ被,c a确定．2.对题中所给元素之间的位置关系进行全面考量，需要考虑到满足题意的各种情况．比如问空间三个点是否能确定一个平面，我们在审题时要首先考虑到空间三个点有共线和不共线两种情况，然后去下结论就不会错了：若三点共线，则不能确定一个平面；若三点不共线，则根据平面的性质公理，它们可确定一个平面．例9．（1）空间中四点可以确定平面的个数为_______.（2）过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是_____.（3）一条直线和这条直线外三点，最多能确定的平面个数是________.（1）当空间四点共线时，由于同时经过这四点可以作无数多个平面，所以它们可以确定的平面个数为0．当空间四点不共线，但共面时，它们确定的平面的个数为1，如下图：当空间四点不共面时，它们确定的平面个数为4．如下图：综上，空间四点可以确定的平面个数为0，1或4．（2）答案：6.如图．（3）答案：4<要点提炼>从上面的例题可知，能够对所给元素的位置关系情况有全面的考量是解题成败的关键，下面给出几种常见的模型．（1）空间四个点．空间四个点分四点共线、四点共面但不共线、四点不共面三种情况．（2）空间两两相交的三条直线．分为三条直线相交于不同三点、相交于同一点但三条直线共面、相交于同一点但三条直线不共面三种情况．练10．（1）平面,αβ相交，在,αβ内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面．（2）四条线段顺次首尾相接可确定平面的个数为__________.答案：(1)1或4 (2)1或4（1）设这四个点分别为,,,A B C D四点共面；若点A B C D，若点D在点,,A B C所确定的平面内，则此时,,,A B C所确定的平面内，则这四点能确定4个平面，综上所述，这四点能确定1个或4个平面．D不在点,,（2）分平面四边形和空间四边形<承接>接下来看由某些直线能把平面分成几个部分，由某些平面能把空间分成多少个部分的问题．例10．（1）平面内一条直线把平面分成______个部分；两条直线最多把平面分成______个部分；三条直线最多把平面分成________个部分．（2）一个平面把空间分成_____部分，两个平面可以把空间分成______部分，三个平面可以把空间分成_______部分．先考虑一条直线或平面的情况，再考虑每增加一条直线或平面会对结果产生什么样的影响，如题（1）中，当每增加一条直线时，若想分成平面的部分最多，则此直线应与原来的每一条直线都相交于不同的交点.平面分空间所成部分分析类似，由于不容易画图，可利用与各面相交的“截面”进行分析.答案：（1）2；4；7（2）2；3或4；4或6或7或8练11．（1）两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为______.（2）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成______部分.答案：（1）1或3（2）7（1）三条直线交于1点或有三个不同交点；（2）垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．【模块小结】以提问方式回顾空间中的点线面位置关系.。