SYSU——荣1数列综合讲义前言........02第1讲数列通项........061.1公式法........071.2累加法........071.3累乘法........081.4差商法........081.5构造辅助数列........09第2讲数列求和........102.1公式法........122.2倒序相加........122.3分组球和........132.4裂项求和........132.5错位相减........152.6等差绝对值求和........162.7奇偶幷项求和........16第3讲数列的通项与求和综合.........17

第4讲数列的性质..........21

4.1单调性........224.2数列的最值........244.3奇偶（性）幷项........274.4周期性........28第5讲简单的数列不等式证明..........29

第6讲存在性问题（整除问题）.........31

第7讲创新型问题.........33

第8讲数阵问题（数列群）.........35第9讲数列与其他知识综合.........36

第10讲(extra)放缩法证明数列求和不等式.........38SYSU——荣

2前言【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值

2011年理：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想12分

文：6选择题等差数列的基本公式方程组思想5分文：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想10分

2012年理：5选择题等比数列的性质方程组思想5分理：16填空题数列的周期性利用周期性求和5分文：12选择题数列的周期性利用周期性求和5分文：14填空题等比数列前n项和方程思想5分

2013年理：7选择题等差数列前n项和方程思想5分理：12选择题与三角形的综合应用判断数列的增（减）性特殊、比较5分

理：14填空题由na与nS关系求an比差法5分文：6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5分文：17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12分

2014年理：17解答题由na与nS关系判定及证明比差法12分

文：17解答题等差数列通项前n项和及一元二次的解法，乘公比错位相消方程组12分

2015年理:17解答题由na与nS关系求通项；前n项和换元法，裂项相消法12分

文:7选择题等差数列：基本量求某一项；方程思想5分文:13填空题等比数列：基本量求项数方程思想5分2016年理：3选择题等差数列，基本量求某一项方程思想5分理：15填空题等比数列，累积求最值函数思想5分文：17解答题等差数列通项公式，等比数列前n项和nS赋值，利用公式求和12分

2017年理：4选择题等差数列，基本量求公差方程思想5分理：12选择题数列分群问题等比数列求和5分文：17解答题等比数列求通项，判定等差方程思想12分

纵观全国Ⅰ卷的数列试题，我们可以发现，全国Ⅰ卷的数列题注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点。从2011年至2017年，全国Ⅰ卷理科试题共考查了12道数列题，其中9道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了11道数列题，其中9道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。SYSU——荣3【基础知识】一、等差等比对比类型项目等差数列等比数列

定义1(1)

nnaadn

1n

n

aqa

中项（,,aAb）2abA2abA

通项公式1(1)

=()n

m

aand

anmd

1

1nnm

nmaaqaq



mnpqmnpqaaaamnpqaaaa

232,,mmmmmSSSSS

成公差为2md的等差数列

成公比为mq

的等比数列

nS122pqn

n

aaaa

Snn





或1

(1)

2nnn

Snad



1

11

1(1)1

11

nnn

naqSaaqaq

q

qq



或

单调性0

0d

d单调递增：

单调递减：1

111

0,1(1,2,4,8)0,01(8,4,2,1)0,01(8,4,2,1)0,1(1,2,4,8)

aqaqaqaq















单调递增单调递减

二、等差等比补充等差数列篇：

1、判定：①1(1)nnaadn；1

(2)

nnaadn

；

②11

2(1)

nnnaaan

（等差中项法）

③naknb，11(1)222pqnn

aaaann

Snnnad



，

2nSAnBn

（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）SYSU——荣42、函数的观点看数列（i）111

naanddnad

，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，

从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

（ii）21111()222nnndSnadnadn，即n

S是关于项数n的二次函数，且

不含常数项，可记为2nSAnBn

的形式。从而可将nS的变化规律图像化

3、数列{}n

S

n也是等差数列

4、若两个等差数列{},{}nnab的前n和分别为,nnST

，则21

21nn

nn

aS

bT



5、奇偶数项问题（会自行推导）项数为2n项：SSnd奇偶项数为21n项：n

SSa

奇偶

等比数列篇：1、判定：①1n

n

aqnN

a

②对于nN

，均有212nnnaaa（等比中项法）

③nnakq

（指数类函数）111

(1)

111n

nnn

aqaaSqkqk

qqq







（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）2、函数的观点看数列

等比数列na的通项公式111(0)nnaaqaq还可以改写成1nnaaqq，当0q且10a时，xyq是一个指数函数，而1xayqq是指数型函数.因此等比数列na的点列()，nna分布在指数型函数1xayqq的图像上，即等比数列na的图像是函数1xayqq的图像上的一群孤立点SYSU——荣5三、数列的周期性类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{na，如果存在一个常数T)(NT，

使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立，则称数列}{n

a是从第0n项起的周期为T

的周期数列。若10n，则称数列}{na为纯周期数列，若20n，则称数列}{n

a为混周期

数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期常见周期如下所列：（1）21Tsaann21



Tsaa

nn1121nn

n

aaT

a







特别地，1

,2n

n

n

xayaxbT

kab







（2）123nnnaaasT123nnnaaasT



1131nnaTa1113nn

aTa

（3）1141nnnaaTa1121nnnaaTa1

14

1n

n

n

aaT

a







（4）21

6

nnnaaaT



11

1

331363313nnnnnaaaTaa（类比tantan6

tan()

61tantan

6



）

四、几个常见的求和公式（1）1

(1)

2n

inn

i







（2）21

(1)(21)

6n

innn

i







（3）321

(1)[]

2

n

inn

i





