一． 等差、等比数列的基本理论
⑴等差、等比数列：
⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法：
①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--
②211-++=n n n a a a (2≥n )
③b kn a n +=(k n ,为常数).
⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法：
①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数
②112-+⋅=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数).
⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n
n
例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。

求249?a a a ++=
解：法一：因为9119(91)9936722
S a d a d -=+=+=
所以148a d +=
249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=⨯=
法二：因为91289...72S a a a a =++++=
而19285...2a a a a a +=+==
所以 5972a = 58a ∴=
249533824a a a a ∴++==⨯=
例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。

求4?a =
解：因为634S S =
所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =）
于是有 6311(1)(1)411a q a q q q
--=-- 6314(1)q q ⇒-=- 又6331(1)(1)q q q -=+-
314q ∴+= 33q ∴=
341133a a q ∴==⨯=
例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。

求95
?S S = 解：法一：19551513319(91)999(4)992595(51)5(2)555
52a d S a a a d S a d a a a d -+
+====⋅=⋅=-++ 法二：因为95539,5S a S a == 所以95553399959555
S a a S a a ==⋅=⋅= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *∈N 。

求5?a =，8?S =
解：因为12n n a a +=
所以12n n
a a += {}n a ∴是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列
1111122n n n n a a q ---∴==⨯=
4
5216a ∴==；8881(12)2125512S ⋅-==-=- 例5. 设数列{}n a 满足431n a -=，410n a -=，2n n a a =， n *∈N 。

求2009?a =，2014?a =
解：因为200945033=⨯-
所以2009450331a a ⨯-==
又201421007=⨯
2014210071007425210a a a a ⨯⨯-∴====
例6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且公比
为正数，1133331,3,17,12a b a b T S ==+=-=。

求,n n a b
解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
则由11331,3,17a b a b ==+=，有211(2)17a d b q ++=
即2(12)317d q ++=；亦即23216q d +=①
又由11331,3,12a b T S ==-=，有311(1)3(31)[3]1212
b q a d q ---+=- 即33(1)(33)121
q d q ⋅--+=-；亦即233312q q d +-=② ①-②，得534d q -= 345
q d +∴=
（﹡） 将345q d +=代入①，得23432165q q ++⋅= 化简整理，得252240q q +-= (2)(512)0q q ⇒-+=
122(,)5
q q ∴==-舍去这是因为已知公比为正数 将2q =代入（﹡），得2d =
故1(1)221n a n n =+-⋅=-；132n n b -=⋅
例7.已知等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=。

求n S
解：因为4637a a a a +=+
所以由已知460a a +=，有370a a +=
又3716a a =-
37,a a ∴是一元二次方程2160x -=的两个根
374,4a a ∴==-或者374,4a a ∴=-=
当374,4a a ==-时，有112464a d a d +=⎧⎨
+=-⎩182a d =⎧⇒⎨=-⎩ 此时2(1)8(2)92
n n n S n n n -=+⋅-=-+； 当374,4a a =-=时，有112464a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 182a d =-⎧⇒⎨=⎩
此时2(1)8292
n n n S n n n -=-+⋅=- 二．数列求和
一般地，数列求和常见的方法有以下几种：
（1）公式法；
（i ）等差数列求和公式：11(1)22
n n a a n n S n na d +-==+ （ii ）等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩
当时当时 （2）分组求和法；
注：“分组求和法”通过把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。

（3）倒序求和法；
注：“倒序求和法”是推导等差数列前n 项和的方法。

（4）错位相减法；
注：“错位相减法”是推导等比数列前n 项和的方法，常应用于形如{}n n a b 的数列求和,其中{}n a 为等差数列, {}n b 为等比数列。

（5）裂项相消法；
注：“裂项相消法”通过把数列中的每一项都拆成两项或几项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。

关于裂项相消法，常见的拆项公式有：
11111()()i n n n n =-++； 1111()()()ii n n k k n n k
=-++； 1111212122121()
()()()iii n n n n =--+-+；
(iv =； 例1. 求11103100510007....(1021)n n ++++++-的和。

解：（分组求和法）
2312
11103100510007....(1021)(101)(1003)(10005) (1021)
10(110)1(21)1(101010...10)[135...(21)](1010)11029n n n n n n n n n n n +++++++-=++++++++--+-=++++++++-=+⋅=-+-
例2. 求数列11111,3,5,...,(21), (2482)
n n -+的前n 项和。

解：（分组求和法） 令数列1(21)2n n ⎧⎫-+⎨⎬⎩
⎭的前n 项和为n S ，则 1232321111...(1)(3)(5)...[(21))]2482
11[1()]11111(21)122[135...(21)][()()...()]1()122222212
n n n n n n S a a a a n n n n n =++++=+++++++-+-+-=++++-+++++=⋅+=+--例3. 求1
2323...n n n n n c c c nc ++++的和。

解：（倒序求和法）
令123123...(1)n n n n n n
n S c c c n c nc -=++++-+① 则1210121(1)(2)...(1)(2)...n n n n n n n n n n n n S nc n c n c c nc n c n c c ---=+-+-++=+-+-++②
①+②，得
012101
22...(...)2n n n n n n n n n n n n n S nc nc nc nc nc n c c c c n -=+++++=++++=⋅
故123123 (2)
n n n n n n S c c c nc n -=++++=⋅ 例3. 设4()42x x f x =+，求122007()()...()200820082008
f f f +++的和。

解：（倒序求和法）。