第2讲 数列求和及数列的简单应用
典型真题：
1.[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√
a n 2
b n
,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.
2.[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知
a 1=4,
b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式.
(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,
b k ,n =2k
,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12n
a i c i (n ∈N *).
3.[2018·浙江卷] 已知等比数列{a n }的公比q>1,且
a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{
b n }满足b 1=1,数列
{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;
(2)求数列{b n }的通项公式. 策略 解决数列解答题
1.解决已知某几个基本量求等差、等比数列的通项公式和前n 项和的问题:
关键一:通过列方程(组)求关键量a1和d(或q).
关键二:利用通项公式和前n项和公式求解.
2.解决数列的递推问题:
关键一:利用a n={S1,n=1,
得出关于a n与a n+1(或a n-1)的递推式.
S n-S n-1,n≥2,
关键二:观察递推式的形式,采用不同方法求a n.
3.解决数列求和问题
关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式.
关键二:利用分组求和法、错位相减法、裂项相消法.
4.(1)等差数列的判断方法:定义法、等差中项法、利用通项公式判断、利用前n项和公式判断.
(2)等比数列的判断方法:
=q(q是常数且q≠0),则数列{a n}是等比数列. (a)定义法:若a n+1
a n
(b)等比中项法:若a n+1
2=a n a n+2(n∈N*),则数列{a n}是等比数列. (c)通项公式法:若a n=pq n(p,q为常数且p,q≠0),则数列{a n}是等比数列.
5.解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法,解决数列的最值问题常用基本不等式法.
解答1等差、等比数列基本量的计算
1 已知{a n}是递增的等比数列,a5=48,4a2,3a3,2a4成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}满足b1=a2,b n+1=b n+a n,求数列{b n}的前n项和S n.
【考场点拨】由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,充分使用通项公式、求和公式、数列的性质,确定基本量.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略. 【自我检测】
设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =
a n+1
(a n+1-1)(a n+2-1)
,求数列{b n }的前n 项和T n .
解答2数列的求和问题
2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且1,a n ,S n 成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)数列{b n }满足b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,T n =1
b 2
+1
b 3+…+
1b n+1
,
求T n . 【考场点拨】
当数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减法.用错位相减法求数列的前n 项和时,应注意:①等比数列的公比为负数的情形;②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“S n -qS n ”的表达式. 【自我检测】
已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+1
2
b 2+1
3
b 3+…+1
n
b n =b n+1-1(n ∈N *).
(1)求a n 与b n ;
(2)记数列{c n }的前n 项和为T n ,且c n ={
1
b n b n+2,n 为奇数,
-1a n
,n 为偶数,
若对任意n ∈
N *,T 2n ≥T 2k 恒成立,求正整数k 的值. 解答3数列中的证明问题 热点1 数学归纳法
3 在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=ca n +c n+1(2n+1)(n ∈N *),其中实数c ≠0,猜想{a n }的通项公式,并用数学归纳法进行证明. 热点2 通项放缩法
4 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a n =a n -12+a n -1
(n ≥2).
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:32-1
2
n ≤S n <11
6
.
【考场点拨】
数列与不等式的综合问题是数列综合应用的一个难点,解题时常用的方法有放缩法、数学归纳法、构造法等.用放缩法证明与数列有关的不等式,常见的情况有:(1)先将通项公式放缩成常见数列的通项公式,再用裂项相消、错位相减、分组求和等方法进行求和;(2)若数列比较容易求和,也常常先求和,再放缩至要证明的不等式的一边;(3) 若要证明的不等式的一边是一个常数,数列的通项公式又可以放缩为等比数列的通项公式,则常用S n =a 1(1-q n )1-q
<a
11-q
(0<q<1)来构造等比数列,再求和. 【自我检测】
1.已知数列{a n }满足a 1=-1,a n+1=(3n+3)a n +4n+6
n
(n ∈N *).
(1)证明:数列{a n +2n
}是等比数列;
(2)令b n =3n -1
a n +2
,用数学归纳法证明:b n+1+b n+2+…+b 2n <4
5-12n+1
(n ≥2,n
∈N *)
2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,对于任意n ∈N *,有a n >0,且a n 是4S n
和3-a n 2
的等差中项.
(1)求a 1的值:
(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n ,都有1
a 1
2+1
a 2
2+…+1
a n
2<1
4
.。