初一数学寒假班（教师版）- 1 -平行线的性质定理知识结构模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析【例1】两条直线被第三条直线所截，总有()．A．同位角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．以上都不对【难度】★【答案】D【解析】只有当两条直线平行时，它们被第三条直线所截，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，故选D．【总结】考查平行线的性质定理．- 2 -- 3 -【例2】 如图，下列说法正确的是( )．A ．若AB ∥CD ，则∠1=∠2 B ．若AD ∥BC ，则∠3=∠4 C ．若∠1=∠2，则AB ∥CD D ．若∠1=∠2，则AD ∥BC 【难度】★【答案】D【解析】A 若AB ∥CD ，则∠3=∠4；B 若AD ∥BC ，则∠1=∠2； C 若∠1=∠2，则AD ∥BC ，故选D ．【总结】考查平行线的性质定理及平行线的判定定理的综合运用．【例3】 如图，能使AB ∥CD 的条件是()．A ．∠1=∠BB ．∠3=∠AC ．∠1+∠2+∠B =180°D ．∠1=∠A【难度】★【答案】C【解析】因为∠1+∠2+∠3=180°，∠1+∠2+∠B =180°， 所以∠3=∠B ， 所以AB ∥CD （同位角相等两直线平行）． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例4】 如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，若∠A ＝100°，则∠DBC 的度数等于( )．A ．100°B ．85°C ．40°D ．50°【难度】★ 【答案】C【解析】因为AD ∥BC （已知），所以180A ABC ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 因为∠A ＝100°（已知）， 所以80ABC ∠=（等式性质）因为BD 平分∠ABC （已知）所以12DBC ABC ∠=∠（角平分线的意义） 所以∠DBC =40°（等式性质）【总结】考查平行线的性质及角平分线的综合运用．【例5】 如图，a //b //c ，与∠1相等的角有哪些?与∠11相等的角有哪些?与∠8互补的角有哪些? 【难度】★【答案】与∠1相等的角有∠5、∠9、∠4、∠8、∠12； 与∠11相等的角有∠7、∠3、∠10、∠6、∠2；321ABCDEABCD910121156784231a b c- 4 - 123 45与∠8互补的角有∠6、∠7、∠2、∠3、∠10、∠11． 【解析】∠5、∠9与∠1是同位角，∠4与∠1是对顶角， ∠5与∠8是对顶角，∠9与∠12是对顶角，所以与∠1相等 的角有∠5、∠9、∠4、∠8、∠12；同理与∠11相等的角有∠7、∠3、∠10、∠6、∠2； 与∠8互补的角有∠6、∠7、∠2、∠3、∠10、∠11． 【总结】考查平行线的性质及三线八角的综合运用．【例6】 如图，直线AB ∥CD ，a ⊥b ，有三个命题：①∠1+∠3=90°，②∠2+∠3=90°，③∠2=∠4．下列说法中，正确的是( )A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①和③正确D ．①②③都正确【难度】★★ 【答案】A【解析】因为AB ∥CD （已知） 所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）， 因为∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠3=90°（等量代换），所以①正确；②③错误． 【总结】考查平行线的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例7】 如图，∠1＋∠2＝180°，∠3=78°，则∠4＝_________． 【难度】★★ 【答案】102°．【解析】因为∠1+∠2=180°（已知），又2180CEF ∠+∠=（邻补角的意义），所以CEF ∠=∠1（等式的性质） 所以AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）所以3180AGH ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 因为∠3=78°（已知）， 所以102AGH ∠=（等式性质） 所以4102AGH ∠=∠=（对顶角相等） 【总结】考查平行线的性质及判定的综合运用．【例8】 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2； （2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是()．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】D2341A BCDa b4321ABC DFEGH【解析】两直线平行同位角相等，所以∠1=∠2；两直线平行内错角相等，所以∠3=∠4；两直线平行同旁内角互补，所以∠4+∠5=180°；∠2+∠4=90°，所以4个都正确．【总结】考查平行线的性质定理的运用．【例9】如图，∠B=∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF=∠C．解：∵∠B=∠C∴AB∥CD（________________________）又∵AB∥EF∴EF∥CD（__________________________）∴∠BGF=∠C（___________________________）【难度】★★【答案】内错角相等，两直线平行；平行的传递性；两直线平行，同位角相等．【解析】∠B与∠C互为内错角、∠BGF与∠C互为同位角．【总结】考查平行线的性质定理及平行线的判定定理的综合运用．【例10】如图8，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，试说明：AD平分∠BAC．解：∵AD⊥BC，EG⊥BC∴AD∥EG（______________________________）∴∠1=∠E（______________________________）∠2=∠3（______________________________）又∵∠3=∠E∴∠1=∠2∴AD平分∠BAC（______________________________）【难度】★★【答案】垂直于同一条直线的两条线互相平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义．【解析】考查平行线的性质定理及平行线的判定定理的综合运用．【例11】如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD=__________．【难度】★★【答案】25°．【解析】因为AB∥CD（已知）A BC D321AB CDEGABCDEFG- 5 -- 6 - 所以180BAC ACD ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 因为∠BAC =65°（已知）， 所以115ACD ∠=（等式性质） 因为AC ⊥BC （已知）， 所以∠BCD =25°（等式性质） 【总结】考查平行线的性质定理及垂直的综合运用．【例12】 如图，AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝40°，则∠BDE 等于() A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定【难度】★★ 【答案】B【解析】因为AC ⊥BC ，DE ⊥BC （已知），所以//AC DE （垂直于同一直线的两直线互相平行） 所以40CDE ACD ∠=∠=（两直线平行，内错角相等） 因为CD ⊥AB （已知）， 所以90CDB =∠=（垂直的意义） 所以9050BDE CDE ∠=-∠=（等式性质） 【总结】考查平行线的性质及判定定理的综合运用．【例13】 如图，AB //CD ，EH 分别交AB 、CD 与点F 、点G ，且∠BFH +∠1=180°-∠CJH ，试说明IG //JH 的理由． 【难度】★★【答案】略 【解析】因为AB //CD （已知），所以180BFH FGD ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 即1180BFH IGJ ∠+∠+∠=（角的和差） 所以1180BFH IGJ ∠+∠=-∠（等式性质） 因为∠BFH +∠1=180°-∠CJH （已知） 所以IGJ GJH ∠=∠（等式性质） 所以IG ∥JH （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的性质定理及平行线的判定定理的综合运用．【例14】 已知：如图，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C 的理由． 【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠1=∠B （已知）所以DE ∥BC （同位角相等，两直线平行） 所以∠C =∠2（两直线平行，同位角相等） 因为EF ∥AB （已知）ABCDEFG HJI12 AB CDE 231AB CD EF- 7 -CBFDEA所以∠3=∠B （两直线平行，同位角相等），因为∠2=∠B （已知）， 所以∠3=∠C （等量代换）． 【总结】考查平行线的性质定理及平行线的判定定理的综合运用．【例15】 如图，AD ∥BC ，∠A =∠C ，说明AB ∥DC 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为AD ∥BC （已知），所以∠C +∠ADC =180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A =∠C （已知）， 所以∠A +∠ADC =180°（等量代换）， ∴AB ∥DC （同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的性质定理及平行线的判定定理的综合运用．【例16】 如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=( )． A ．110° B ．115° C ．120°D ．130°【难度】★★★ 【答案】B【解析】因为翻折， 所以BFE GFE ∠=∠（翻折的意义）因为1180BFE GFE ∠+∠+∠=，（邻补角的意义），又150∠=（已知）， 所以65BFE ∠=（等式性质）． 因为//AD BC （已知），所以180AEF BFE ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以115AEF ∠=（等式性质）．【总结】考查平行线的性质及翻折性质的综合运用．【例17】 已知：如图，123456∠=∠∠=∠∠=∠，，．试说明//ED FB 的理由．【难度】★★★ 【答案】略【解析】因为∠3=∠4（已知）， 所以//BD CF （内错角相等，两直线平行）所以6180CDB ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 即623180∠+∠+∠=． ∵1256∠=∠∠=∠，（已知） 所以∠3+∠1+∠5=180°（等量代换），即3180FBD ∠+∠=．532641ABCDE FG1 AEDCB FG- 8 -所以DE ∥BF （同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，解题时认真分析角度间的关系．【例18】 如图，已知DE ∥BC ，12∠=∠，CD AB ⊥于点D ，说明FG AB ⊥的理由．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】因为DE ∥BC （已知），所以∠1=∠DCB （两直线平行，内错角相等），因为∠2=∠1（已知），所以∠2=∠DCB （等量代换）， 所以CD ∥FG （同位角相等，两直线平行） 因为CD ⊥AB （已知），所以FG ⊥AB ．【总结】考查平行线的性质及平行线的判定定理的综合运用．1．三个距离：（1） 两点之间的距离；（2） 点到直线、射线、线段的距离； （3） 平行线间的距离． 2．几种角：（1） 余角：∠1+∠2=90°，补角：∠1+∠2=180°； （2） 邻补角：∠1+∠2=180°(有一条公共边和公共顶点)； （3） 对顶角；（4） 同位角、内错角、同旁内角． 3．可以用来推理的依据：（1） 同角的余角相等，同角的补角相等； （2） 对顶角相等； （3） 邻补角的意义； （4） 角平分线的意义； （5） 垂直的意义；（6） 判定平行线的三个方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（7） 平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；知识精讲模块二：综合运用21 ABCEG DF- 9 -两直线平行，同旁内角互补；（8） 垂直于同一条直线的两条直线平行； （9） 平行于同一条直线的两条直线平行； （10） 平行线间的距离处处相等； （11） 等量代换； （12） 等式的性质． 4．几个基本性质（1） 两点之间，垂线段最短； （2） 垂线段最短；（3） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （4） 经过直线外的一点有且只有一条直线平行于已知直线．【例19】 如图，AB ∥CD ，直线PQ 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 是∠FED 的平分线，交AB 于点G ．若∠QED =40°，那么∠EGB 等于( )．A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【难度】★【答案】C【解析】∵//AB CD （已知）∴QED QFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 180QFB DEF ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）∵∠QED =40°（已知）， ∴18040140DEF ∠=-=（等式性质）∵EG 是∠FED 的平分线（已知） ∴1702DEG DEF ∠=∠=（角平分线的意义）∵//AB CD （已知） ∴70FGE DEG ∠=∠=（两直线平行，内错角相等） ∵180FGE EGB ∠+∠=（邻补角的意义） ∴110EGB ∠=（等式性质） 【总结】本题主要考查平行线的性质及角平分线意义的综合运用．【例20】 如图，已知AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B =40°，∠D =30°，则∠AOC的大小为( ) A ．60°B ．70°C ．80°D ．120°【难度】★【答案】B【解析】∵AB ∥CD （已知）， ∴∠C =∠B （两直线平行，内错角相等）例题解析A BCDEFGQPA BCDO- 10 - 2121HGF EDCBA ∵180AB AOB ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°）又∠B =40°，∠D =30°（已知） ∴1803040110AOB ∠=--=（等式性质） ∵180AOB AOC ∠+∠=（邻补角的意义） ∴18011070AOC ∠=-=（等式性质） 【总结】考查平行线的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例21】 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角( )．A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余【难度】★★ 【答案】A【解析】如图所示，可知选A ．【总结】考查平行线的性质及邻补角的综合运用，注意分类讨论．【例22】 已知：AB //CD ，BD 平分ABC ∠，DB 平分ADC ∠，试说明DA // BC ． 【难度】★★【答案】略【解析】∵BD 平分∠ABC ，DB 平分∠ADC （已知），∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分线的意义）．∵AB //CD （已知）， ∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∴23∠=∠（等量代换）∴DA // BC （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的性质定理及判定定理的综合运用，注意认真分析题目中的条件．【例23】 如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF ，EG 三等分∠AEC ．（1）求∠AEF 的度数；（2）试说明EF ∥AB ． 【难度】★★【答案】（1）30°； （2）略． 【解析】（1）延长AE 交CD 于点H ，∵AB ∥CD （已知）， ∴AHC A ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵∠BAE =30°，∠DCE =60°（已知）， ∴90AEC ∠=．∵EF ，EG 三等分∠AEC （已知）， ∴1303AEF AEC ∠=∠=（等式性质）．（2）∵30AEF ∠=，∠BAE =30°（已知）， ∴AEF A ∠=∠（等量代换） ∴//EF AB （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的性质定理及判定定理的综合运用，注意方法的合理运用．4321ABCD- 11 -AB1EF 2 CP DDFCA E B【例24】 已知：如图，CDA CBA ∠=∠，DE 平分CDA ∠，BF 平分CBA ∠，且ADE AED ∠=∠．试说明//DE FB ． 【难度】★★【答案】略．【解析】∵DE 平分CDA ∠，BF 平分CBA ∠（已知），∴12ADE ADC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠（角平分线的意义）∵CDA CBA ∠=∠（已知）， ∴ADE ABF ∠=∠（等式性质） ∵ADE AED ∠=∠（已知）， ∴AED ABF ∠=∠（等量代换） ∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行）．【总结】考查平行线的判定定理及角平分线意义的综合运用．【例25】 已知：如图，18012BAP APD ∠+∠=∠=∠，．试说明E F ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】∵∠P AB +∠APD =180°（已知）， ∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAP =∠APC （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1=∠2（已知）∴∠EAP =∠APF （等式性质） ∴AE ∥PF （内错角相等，两直线平行） ∴∠E =∠F （两直线平行，内错角相等）【总结】考查平行线的性质定理及判定定理的综合运用．【例26】 已知：AF 、BD 、CE 都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，且12∠=∠，C D ∠=∠．试说明A F ∠=∠．【难度】★★★ 【答案】略【解析】∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（对顶角相等）∴∠1=∠3（等量代换）， ∴DB ∥CE （同位角相等，两直线平行） ∴∠D =∠FEC （两直线平行，同位角相等）又∵∠C =∠D （已知）， ∴∠FEC =∠C （等量代换），∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）， ∴∠A =∠F （两直线平行，内错角相等） 【总结】考查平行线的性质定理及判定定理的综合运用，注意认真分析题目中条件．4231AB CD EF模块三：辅助线的添加- 12 - 25°F α120°E DCBA【例27】 如图，已知//AB CD ，α∠等于()A ．75B ．80C ．85D ．95【难度】★★【答案】C【解析】过点E 作AB 的平行线EF ，∵//AB CD （已知） ∴////AB CD EF （平行的传递性） ∴180∠+∠=B BEF （两直线平行，同旁内角互补） C FEC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵120B ∠=，25C ∠=（已知） ∴60BEF ∠=，25FEC ∠= ∴85BEF FEC α∠=∠+∠=（等式性质）【总结】考查平行线的性质及辅助线的添加的综合运用．【例29】 如图所示，已知AB ∥CD ，110A ︒∠=，140C ︒∠=，求P ∠的度数． 【难度】★★【答案】110° 【解析】过点P 作PQ ∥AB ，∵//AB CD （已知）∴////AB CD PQ （平行的传递性）∴180A APQ ∠+∠=，180C CPQ ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）∵110A ︒∠=，140C ︒∠=（已知）， ∴70APQ ∠=，40CPQ ∠=（等式性质） ∴4070110APC CPQ APQ ∠=∠+∠=+=（等式性质）． 【总结】考查平行线的性质及辅助线的添加的综合运用．【例30】 如图所示，已知△ABC 中，试说明∠A +∠B +∠C =180°．【难度】★★【答案】略． 【解析】过点A 作直线M N ∥BC ，∴∠B =∠MAB ，∠C =∠NAC （两直线平行，内错角相等） ∵180MAB BAC NAC ∠+∠+∠=（邻补角的意义） ∴∠A +∠B +∠C = 180°（等量代换）【总结】本题主要考查平行线的性质及邻补角意义的综合运用．例题解析PC B DAQ CB AMN- 13 -【例31】 已知如图，AB //CD ，试解决下列问题： （1）∠1＋∠2＝___________； （2）∠1＋∠2＋∠3＝___________； （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝___________；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝___________．【难度】★★★【答案】（1）180°； （2）360°； （3）540°； （4）(1)180n -． 【解析】（1）两直线平行，同旁内角互补； （2）过点E 作EF ∥AB ，则1180AEF ∠+∠=，3180CEF ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠A EP +∠PEC +∠3=180°+180°= 360°； （3）分别过点E 、F 作EP ∥FQ ∥AB ，同理，可得：∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEP +∠PEF +∠EFQ +∠QFC +∠4 =180°+180°+180°=540°；（4）∠1+∠2+∠3＋.......+∠n =(1)180n -． 【总结】考查平行线的性质及辅助线添加的综合运用．【习题1】 一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A ．第一次向左拐45°，第二次向右拐45°B ．第一次向右拐65°，第二次向左拐115°C ．第一次向右拐70°，第二次向右拐110°D ．第一次向左拐55°，第二次向左拐125° 【难度】★【答案】A【解析】主要是利用平行线的性质解决实际问题．【习题2】 如图，若AD ∥BC ，则图中相等的内错角是()随堂检测P FQ- 14 -A ．∠1和∠5，∠2与∠6B ．∠3和∠7，∠4与∠8C ．∠2和∠6，∠3与∠7D ．∠1和∠5，∠4与∠8 【难度】★【答案】D【解析】∵AD ∥BC （已知） ∴∠4=∠8，∠1=∠5（两直线平行，内错角相等） 虽然∠7和∠3，∠2和∠6互为内错角，但AB 不平行CD ，故不相等． 【总结】考查平行线的性质定理的运用．【习题3】 如图，已知m ∥n 点A 、B 在直线m 上，点E 、F 在直线n 上，AP ⊥n 于点P ，且AP=4，EF=6，求△BEF 的面积． 【难度】★ 【答案】12．【解析】11641222BEF S EF AP =⨯⨯=⨯⨯=△．【总结】考查三角形面积及平行线间的距离的运用．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角是( )．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】C【解析】这两个角可能是同位角，也可能互补． 【总结】考查平行线的性质，注意两种情况的讨论．【习题5】 已知：如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=25°，求∠2的度数．【难度】★★【答案】25° 【解析】 ∵a ∥b （已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=25°（等量代换） 【总结】考查平行线的性质定理的运用．【习题6】 已知：如图，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ，∠B =42°，∠C =57°，求∠DAB 、∠CAD 的度数． 【难度】★★ 【答案】见解析．231abl ABCD EABmnEF P34657821ABC D- 15 -【解析】∵DE ∥BC （已知），∴DAB B ∠=∠，EAC C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵∠B =42°（已知）， ∴∠DAB = 42°（等量代换）． ∵∠C=57°（已知）， ∴57EAC ∠=（等量代换） ∵180DAC EAC ∠+∠=（邻补角的意义）∴180********∠=-∠=-=DAC EAC （等式性质） 【总结】考查平行线的性质定理的运用．【习题7】 填空：（1） 因为∠A =∠_________（已知），所以AB ∥DF （）．（2） 因为∠BDE =∠_____________（已知），所以DE ∥AC （）．（3） 因为∠A +∠___________=180°（已知），所以DF ∥AB （）．（4） 因为∠DFC =∠_________（已知）所以DE ∥AC （）．（5） 因为DF ∥AB （已知），所以∠B =∠__________（）．（6） 因为DE ∥AC （已知）所以∠BDE =∠_____________（）．【难度】★★【答案】略．【解析】（1）∠DFC ，同位角相等，两直线平行；（2）∠C ，同位角相等，两直线平行；（3）∠AFD ，同旁内角互补，两直线平行； （4）∠E DF ，内错角相等，两直线平行； （5）∠FDC ，两直线平行，同位角相等； （6）∠C ，两直线平行，同位角相等． 【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【习题8】 已知：如图，∠ABC =65°，∠1=∠2．求∠BCD 的度数． 【难度】★★ 【答案】115°【解析】∵∠1=∠2（已知），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）∴180ABC BCD ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）∵∠ABC =65°（已知）， ∴18065115BCD ∠=-=（等式性质）．BCD21ABCDEF- 16 -EA B CD【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【习题9】 已知：如图，123//B AC DE ∠=∠∠=∠，，，且B 、C 、D 共线．试说明//AE BD ．【难度】★★【答案】略 【解析】∵AC ∥DE （已知），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠4（等量代换）∴AB ∥CE （内错角相等，两直线平行） ∴B ECD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） ∵3B ∠=∠（已知） ∴3ECD ∠=∠（等量代换） ∴AE ∥BD （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【习题10】 已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2．试说明∠B =∠C ． 【难度】★★★【答案】略．【解析】∵∠1=∠2（已知），∠2=∠CGD （对顶角相等）∴∠1=∠CGD （等量代换）∴AF ∥ED （同位角相等，两直线平行），∴∠AFD +∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠D =∠A （已知）， ∴∠AFD +∠A =180°（等量代换），∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） ∴∠B =∠C （两直线平行，内错角相等） 【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【习题11】 如图，已知：AB //CD ，试说明∠B +∠D +∠BED =360︒（至少用三种方法）．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】方法一：过点E 作AB 的平行线（同例31）； 方法二：连接BD ，∠B +∠D +∠BED =(∠ABD +∠BDC )+(∠DBE +∠BED +∠EDB )=180°+180°=360°； 方法三：分别延长AB 、CD 至点M 、N ，再过点E 作直线PQ ∥AB ，21A BCDE FGH3241ABCDE- 17 -则∠B +∠D +∠BED =∠ABE +∠MBE +∠CDE +∠EDN =180°+180°=360°． 【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用以及辅助线的添加方法．【作业1】 下列说法中，正确的是( )A ．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种B ．在同一平面内，不垂直的两条直线必平行C ．在同一平面内，不平行的两条直线必垂直D ．在同一平面内，不相交的两条直线一定不垂直【难度】★【答案】D【解析】在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行；不垂直的两条直线可能相交； 不平行的两条直线可能相交． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业2】 如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，150∠=，下列判断错误的是() A ．如果550∠=，那么//AB CD ； B ．如果4130∠=，那么//AB CD ； C ．如果3130∠=，那么//AB CD ； D ．如果250∠=，那么//AB CD ． 【难度】★【答案】D【解析】由∠2=50°不能推出AB ∥CD ，因为1∠与2∠是对顶角． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【作业3】 如图所示，如果DE ∥AB ，那么∠A +________=180°，或∠B +_________=180°，根据是_______________________；如果∠CED =∠FDE ，那么_______∥_____，根据是_______________． 【难度】★【答案】∠AED 、∠BDE 、两直线平行，同旁内角互补、 AC ∥DF 、内错角相等，两直线平行【解析】考查平行线的性质定理及判定定理的运用．【作业4】 给出下列说法：①两条直线被第三条直线所截，则内错角相等；②平面内的一课后作业ABCDEF45321A BCDEF- 18 - 条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；③平面内的三条直线任意两条都不平行，则它们一定有三个交点；④若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】B【解析】①被截的两条直线不一定平行，错误；②正确；③可能有一个交点；④正确 【总结】考查平面内直线的位置关系【作业5】 两直线被第三条直线所截，∠1和∠2构成同旁内角，若∠1＝70°，则()．A ．∠2＝70°B ．∠2＝110°C ．∠2＝70°或110°D ．∠2不能确定【难度】★★【答案】D【解析】题目没说被截的两条直线是否平行． 【总结】考查同旁内角互补的前提条件．【作业6】 如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，那么图中与∠1相等的角有()个．A ．2B ．4C ．5D ．6．【难度】★★【答案】C【解析】与∠1相等的角有∠DCB 、∠GAC 、∠GEF 、∠DAE 、 ∠HDC ，所以共有五个．【总结】考查平行线的性质定理的运用．【作业7】 如图，已知直角△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=56°，AD ⊥BC ，DE ∥CA ．求：∠ADE 的度数．【难度】★★【答案】56°． 【解析】∵DE ∥CA （已知），∴180AED BAC ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） ∵90BAC ∠=（已知）， ∴∠AED=90°（等式性质） ∴90EAD ADE ∠+∠=（三角形的内角和等于180°） ∵AD ⊥BC （已知）， ∴90ADB ∠=（垂直的意义） ∴90B DAB ∠+∠=（三角形的内角和等于180°） ∴ADE B ∠=∠（同角的余角相等）∵∠B =56°（已知）， ∴56ADE ∠=（等量代换）【总结】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理的综合运用．1ABCD EF G H AB CDE- 19 -EDBC ′F CD ′ A【作业8】 已知∥∥，、之间的距离是3，、之间的距离是5，则、之间的距离是_______．【难度】★★【答案】8cm 或2cm ．【解析】当b 在a 、c 之间时，距离为5+3=8cm ；当a 在b 、c 之间时，距离为5-3=2cm ． 【总结】考查平行线之间的距离的运用．【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为___________． 【难度】★★【答案】50°． 【解析】∵//AD BC （已知）∴DEF EFB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵翻折， ∴'∠=∠DEF D EF （翻折的意义）∵∠EFB ＝65°（已知）， ∴'∠=∠DEF D EF =65°（等量代换） ∵180AED D EF DEF ''∠+∠+∠=（邻补角的意义） ∴180656550AED '∠=--=（等式性质） 【总结】考查平行线的性质及翻折性质的综合运用．【作业10】 如图，CD ∥BE ，试判断∠1，∠2，∠3之间的关系． 【难度】★★★ 【答案】∠1=∠2+∠3【解析】延长AC 交BE 于点F ，∵CD ∥BE （已知），∴1AFE ∠=∠（两直线平行，同位角相等） ∵180AFE AFB ∠+∠=（邻补角的意义），2+3180AFB ∠∠+∠=（三角形内角和等于180°） ∴2+3AFE ∠=∠∠（等式性质） ∴12+3∠=∠∠（等量代换）【总结】考查平行线的性质及三角形内角和定理的综合运用．【作业11】 如图，已知AB ∥EF ，CD ⊥BC ，∠B =x °，∠D =y °，∠E =z °，试说明x 、y 、z 之间的关系． 【难度】★★★【答案】90x y z +-=．【解析】分别过点C 、D 作CM ∥AB ，DN ∥AB ，a b c a b cm b c cm a c cm D C BAE132FAB C DEFMN∵AB∥EF（已知），∴//////AB CM DN EF（平行的传递性）∴B BCM∠=∠（两直线平行，内错角相等）∠=∠，CDN DCM∠=∠，EDN E∵∠B=x°，∠D =y°，∠E = z°（已知），∴BCD BCM DCM B CDN x y z∠=∠+∠=∠+∠=+-（等式性质）∵CD⊥BC（已知），∴90∠=（垂直的意义）BCD∴90+-=（等量代换）．x y z【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质定理的运用，另外注意合理的辅助线的添加．- 20 -。