F2
q
大小相等、方向相反，合力为零； 由于 F1 和 F1 产生的合力矩大小为
M F sli n qs E i n p lsE in 矢量式为
MpE
在此力矩作用下电偶极矩将转向外电场方向直到电矩 与外电场方向一致。
在非均匀外电场中，电偶极子一方面受力矩作用，另 一方面，所受合力不为零，场强较强一端电荷受力较 大，促使偶极子向场强较强方向移动，如图所示：
积分变量代换
ra/sin, xaco,t
d xac2 sd c
dE
y
dEy
P
代入积分表达式
dEx
Ex4π0
12a2ccos2csacs2cd
1
ar
θ
2cosd
4π0a 1
dx
(s
4π0a
同理可算出
in2sin1)
Ey4π0a(co1 sco2s)
2
x
极限情况，由
Ex4π0a(sin2sin1) Ey4π0a(co1 sco2s)
rq1qnn r2
ri qi
qi
rnn ri
pP
可见，点电荷系在空间任一点所激发的总场强 等于各个点电荷单独存在时在该点各自所激发的场 强的矢量和。
例题7-4 求电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任 一点的电场。
解： 电偶极子轴线的延长线上任一点A(x,0)的电场
E
q
4π0 x
l 2
2
i
3.连续带电体的电场
电荷元：d q
电荷线分布 dqdl
dl
电荷体分布 dqdV
dV
dq
电荷面分布 dqdS
dS
电荷元场强
dE
1
4π0
dq r2 er
r. P dE
对于电荷连续分布的带电体，在空间一点P的场强为：
E dE 1
4π0
drq2er
电荷体分布： 电荷面分布：
1 dV
E
4π0
r2
er
通过该曲面（平面）的电场强度通量。 2.电场强度通量单位：N·m2/C
3.均匀电场中垂直通过平面S⊥的电场强度通量
ΨE ES
S
4.均匀电场中斜通过平面S的电场强度通量:
ΨEE coSs
θ
θ en
ES
5.非均匀电场通过曲面S 的电场强度通量:
Ψ E S E co d S s S E d S
E4π0(Rx2 qx2)3/2
dE4π0(rx2d qx2)3/2 x2πrdr 4π0(r2 x2)3/2
R
P dE
rx
dr
E
dEx 20
R 0
rdr r2x2
32 201(R2xx2)1/2
E201(R2xx2)1/2
讨论：
1. 当R>>x
E 无限大均匀带电平面的场强为匀强电场 2 0
2. 当R<<x
x (R2 x2 )1/ 2
(1 R2 )1/2 1 1 ( R)2
x2
2x
E
R 2 4 0 x 2
q
4π 0x2
可视为点电荷的电场
四、 电场线 电场强度通量
电场线：为形象描述电场分布情况,用一些假想的有方向 的曲线——电场线代表场强度的大小和方向。
规定 :
B
A
⑴曲线上任一点的切线方向代表该点的场强方向;
例题7-3 试求电偶极子在均匀外电场中所受的作， 并分析电偶极子在非均匀外电场中的运动。
电偶极子定义:一对相距为l 带电量相同,电性相反的
电偶极子的电偶点极电矩荷：系p。ql,l为由负电荷指向正电荷
解：如图所示，在均匀外电场 中，电偶极子的正负电荷上的 电场力的大小为
q p
F1
M
E
FF1F2qE
q
q
q F2
F1 q F2
F1
q
F2 q
F1
三、电场强度的计算
1. 点电荷的电场
F 1
EF4π0
q0 4
q0q r2
er
1
π 0
q r2
er
E
E
+
r
F
q0
E
场点
q
r
源点
r
2.电场强度叠加原理和点电荷系的场强
n
F F 1 F 2 F n i1 Fi
F q q
E
i F
i 对 的作用
当直线长度 L { 1 0
Ex 0
2 π
Ey
2
4π0a 2π0a
无限长均匀带电直线的场强：
EEy 2π0a
例题7-6 求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。
dq y
r
R
Px
x
dE
解：
z
dqdl q dl
2πR
dE dq
4π 0r 2
dE//dEi d E d E yj d E zk
F 1F 2 F n
q0
q0 q0
q0
电场强度叠加原理
-
q1
+
r1
r2
E2
E3
E
p
r3
E1E2
E1
E E 1 E 2 E n E i q2
+
q3
点电荷系的电场
EE Ei iE n 141 4 ππ11E 002 rqrqi 2ii2ie eriri E qn q21 qq12rr12
qx
4π0(R2 x2)3/2
讨论：
qx
由
E4π0(R2 x2)3/2
当 x 0 即在圆环的中心，E=0
当 x时 即P点远离圆环时，
R2x232x3
q
E 4π 0 x2
与环上电荷全部集中在环中心处一个点电荷所激 发的电场相同。
例题7-7 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
解：由例题7-6均匀带电圆环轴线上一点的电场
q (r 2 l 2 / 4)
E
E2E co s
E
P
2 1
q
4π0 (r2 l2/4)
E
r
(r2
l/2 l2 /4)1/
2
q
+ q
l/2 l/2
410
(r2
ql l2 /4)3/2
用矢量形式表示为
若 r l
E4π 10(r2l2 p/4)3/2
E
1
4π0
p r3
结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点的 场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的 距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。
E
q
4π0x
l
2
2
i
y
q
l/2
+q
l/2
E
E E
A(x,0)
x
A点总场强为
E AE E
q
40
x
1 l
2
2
x
1 l
2
2
i
2qxl
4π0x12lx212lx2 i
EA
1
4π0
2xq3 li
1
4π0
2p x3 i
因为x>>l
电偶极子中垂线上任一点的电场
E E
1
4π 0
dq
y
R
x
z
dE
当dq 位置发生变化时，它所激发的电场 d E 矢量构成了一个圆锥面。
所以，由对称性 Ey Ez 0
dE
1
4π0
dq r2
dq
R
由对称性 Ey Ez 0
EExdEcos
y
r
Px
x
dE
zபைடு நூலகம்
cos
4π0r2
dq
q cos 4π 0r 2
qx / r
4π 0r 2
qx
4π 0r3
设棒长为L , 带电量q ，电荷线密度为 =q/L。
解：建立直角坐标系
dE y
取线元 d x
带电 dqdx dEx
dEy P
dE 1 dx
ar
4π0 r2
将 dE 投影到坐标轴上
1
θ
dEx
1
4π0
dxcos
r2
dEy
1
4π0
rd2xsdxin
2
x
Ex
1
4π0
r2 cosdx
Ey
1 sindx 4π0 r2
E
1
4π0
ds
r2 er
电荷线分布：
E
1
4π0
drq2 er
求解连续分布电荷的电场的一般步骤：
• 依几何体形状和带电特征任取电荷元dq；
• 写出电荷元dq的电场表达式dE；
• 写出dE在具体坐标系中的分量式，并对这些分量
式作积分； ·将分量结果合成，得到所求点的电场强度。
例题7-5 求距离均匀带电细棒为a 的 P点处电场强度。
S
en
θ
dS
SE
6.面元法向规定: ⑴非封闭曲面面法向正向可任意取 ⑵封闭曲面指外法向。
注意：
电通量是标量，但有正负。
当电场线从曲面内向外穿出是正值。
en
2
当电场线从曲面外向内穿入是负值。
en 1
7.非均匀电场通过封闭曲面S的电场强度通量:
d E E cd S o E d s S
en 1
en
Ψ E S E co d S s S E d S
2
注意:通过封闭曲面S的电通量等于净穿出该封闭曲 面的电场线总条数。