解： 电偶极子轴线的延长线上任一点A(x,0)的电场
q
E
4π
0
x
l
2
2
i
E
q
4π
0
x
l 2
2
i
y
q
l/2
+ q
l/2
E
E E
A(x,0)
x
A点总场强为
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EA E E
q
4 0
x
1 l
2
2
x
1 l
2
2
r i
4π 0
x1
2qxl l 21 2x
l 2x
{ 试验电荷q0
点电荷(尺寸小) q0足够小，对待测电场影响极小
定义电场强度
E
F
A
FA
q0
电场中某点的电场强 度等于单位正电荷在该 点所受的电场力。
B q0
q0
FB
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电场强度的单位：N/C或V/m 有电场强度计算电场力：
F Eq
电场对正负电荷 作用力的方向：
+ F Eq
x
dEy
1
4π 0
dx
r2
sin
Ex
1
4π 0
r2
cosdx
Ey
1
4π 0
r2
sindx
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积分变量代换
r a / sin , x acot , dx a csc2 d
dE
y
dEy
P
代入积分表达式
dEx
Ex 4π0
2 1
cos
a2 csc2
a
csc2
d
1
ar
θ
2
2 cosd
4π 0a 1
dx
x
4π 0 a
(sin2
同理可算出 E
sin1
y 4π
) 0a
(cos1
cos
2
)
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极限情况，由
Ex
4π 0 a
(sin2
sin1)
Ey
4π 0 a
(cos1
cos2 )
当直线长度 L Ex 0
{ 1 0
2 π
Ey 4π 0a 2 2π 0a
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例题7-5 求距离均匀带电细棒为a 的 P点处电场强度。
设棒长为L , 带电量q 解：建立直角坐标系
，电荷线密度为 dE
=q/L。
y
取线元 d x
带电 dq dx dEx
dEy P
1 dx
dE
4π 0
r2
将 dE 投影到坐标轴上
dEx
1
4π 0
dx
r2
cos
ar
1
θ
2
dx
q
q
q
F2
F1 q
F2
F1
F2
q
q
F1
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三、电场强度的计算
1. 点电荷的电场
F
E
4
F
q0
1
π
0
q0 q r2
er
1q
4π0 r 2
er
E
E
+
r
F
q0
E
场点
q r
源点
r
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2.电场强度叠加原理和点电荷系的场强
n
F F1 F2 Fn Fi
Fi
E
F
i 1
qi 对 q 的作用
F1 F2
Fn
E3
E
q0 q0 q0
电场强度叠加原理
q0
q1
+
r1
-
r2
E2
p
r3
E1
E2
E1
E E1 E2 En Ei q2
+
q3
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点电荷系的电场
Ei
1
4π0
qi ri 2
eri
E E1 E2 En
2
i
EA
1
4π 0
2ql x3
i
1
4π 0
2
p
x3 i
因为x>>l
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电偶极子中垂线上任一点的电场
E
E
1
4π 0
(r 2
q l2
/ 4)
E
E 2E cos
E
P
1
q
2
4π 0
(r 2
l2
/ 4)
E
r
(r 2
l/2 l2 /
4)1/ 2
q
+q
l/2 l/2
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q p
F1
M
E
ห้องสมุดไป่ตู้
F F1 F2 qE
F2
q
大小相等、方向相反，合力为零； 由于 F1 和 F1 产生的合力矩大小为
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M Flsin qElsin pE sin
矢量式为
M
p
E
在此力矩作用下电偶极矩将转向外电场方向直到电矩 与外电场方向一致。
在非均匀外电场中，电偶极子一方面受力矩作用，另 一方面，所受合力不为零，场强较强一端电荷受力较 大，促使偶极子向场强较强方向移动，如图所示：
3.连续带电体的电场
电荷元：dq
电荷线分布 dq dl
dl
电荷体分布 dq dV
dV
dq
电荷面分布 dq dS
dS
电荷元场强
r dE
1
4π 0
dq r2
err
r. P dE
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对于电荷连续分布的带电体，在空间一点P的场强为：
r
E
r dE
1
4π 0
drq2 err
电荷体分布： 电荷面分布：
无限长均匀带电直线的场强：
E Ey 2π0a
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例题7-6 求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。
dq y
r
R
Px
x
解：
dq dl q dl
2πR
dE
z
dE dq
4π 0 r 2
§7-2 静电场 电场强度
一、 电场
作用
{ 两种观点
超距作用
电荷1
电荷2
作用
电场 电荷1
电场1 电荷2
电场2
电场力：电场对处于其中的其他电荷的作用力，电荷
间的相互作用力本质上是各自的电场作用于对方的电 场力。 静电场：相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的
电场。
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二、 电场强度
1
4 0
(r 2
ql l 2 / 4)3/ 2
用矢量形式表示为
E
1
4π 0
(r 2
p l 2 / 4)3/2
若 r l
1p
E 4π0 r3
结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点的 场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的 距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。
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E
1
4π 0
dV
r2
er
E
1
4π 0
ds
r2 er
电荷线分布：
E
1
4π 0
dq r2
er
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求解连续分布电荷的电场的一般步骤： • 依几何体形状和带电特征任取电荷元dq； • 写出电荷元dq的电场表达式dE；
• 写出dE在具体坐标系中的分量式，并对这些分量
式作积分； ·将分量结果合成，得到所求点的电场强度。
E
n i 1
1
4π 0
qi ri2
eri
qq21
q1
q2r2
rq1qnn r2
r1 qi
ri
qi
rrnn ri
pP
可见，点电荷系在空间任一点所激发的总场强 等于各个点电荷单独存在时在该点各自所激发的场 强的矢量和。
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例题7-4 求电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任 一点的电场。
E F Eq
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例题7-3 试求电偶极子在均匀外电场中所受的作， 并分析电偶极子在非均匀外电场中的运动。
电偶极子定义:一对相距为l 带电量相同,电性相反的
点电荷系。
电偶极子的电偶极矩：p
ql ,l 为由负电荷指向正电荷
解：如图所示，在均匀外电场 中，电偶极子的正负电荷上的 电场力的大小为