柯西积分
§i2 复变函数1
复变函数定义 复变函数基础 复数——两个实数x，y确定的数z=x+iy
虚数单位
实部
i 1
x Re z
y Im z
| z | x2 y2
y arctan x
虚部
模
幅角
§i2 复变函数2
解析函数 ——复变函数的可导性
函数f（z）在某区域Σ上的每一点导数存在， 称为区域Σ上的解析函数。
由于
xi n j' i x j'
因此
k
xi n j 'i x j '
ui ',
j'
uk , l ni 'k n j 'l
l
由此可证，ui, j服从二阶张量的变换规律
§i1 张量6
特殊的张量符号
1 d ij 0 i j i j
克罗内克尔（Kronecker Delta）记号d ij
笛卡儿（Descartes）张量定义
一般张量——曲线坐标系定义
§i1 张量2
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相 关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3） 表示为u1, u2, u3 i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
e132 e321 e213 1
§i1 张量9
二阶对称张量 反对称张量
Tij Tji
Tij T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对 称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶
以上高阶张量。
附录2 复变函数数学基础
复变函数定义 解析函数
保角变换
——函数的函数
变分法——泛函极值
泛函极值条件
d J=0
d 2J≥0，则∆J＞0，泛函J [y]为极小值；
d 2J≤0，则∆J＜0，泛函J [y]为极大值。
§i3 变分法2
泛函极值的必要条件—欧拉方程
d 0 ydx dJ J (d y xd y y ' )d)] x＝ [ d (
逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某
物理量对xi求偏导数。
( ),
ui x j ui x j xk
i
利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为
ui ,
j
( ) xi
e ij xk e ij xk xl
e ij, k
s ij, k
s ij, kl
s ij xk s ij xk xl
附录 弹性力学数学基础目录来自附录1 张量基础附录2 复变函数数学基础
附录3 变分法概要
§i1 张量1
附录1 张量基础
张量特征
笛卡儿张量下标
求和定约 偏导数下标记法 特殊张量
§i1 张量1
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义
sij和eij ——9个应力分量或应变分量
sij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
§i1 张量3
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从1到3求和。
A ak k ak k A
3 k 1
a
ij i i j
j
aij i j
哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标：非重复下标
显然
d 11 d 11 d 13 1 0 0 0 1 0 d ij d d d 22 23 21 d 31 d 32 d 33 0 0 1
克罗内克尔记号是二阶张量 d ii d 11 d 22 d 33 3 运算规律
F y' 0,
x x1
F y'
0
x x2
§i3 变分法5
泛函变分的基本运算法则
泛函变分运算与微分运算法则基本相同
d ( F1 F2 ) dF1 dF2
d ( F ) nF dF
n n1
d ( F1 F2 ) F2dF1 F1dF2
F1 1 d ( ) 2 ( F2dF1 F1dF2 ) F2 F2
§i2 复变函数4
柯西积分公式
f（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭 曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的 任一点，则
1 f (t ) dt f ( z ) 2πi c t z
z为C外的任一点，则
1 f (t ) dt 0 2πi c t z
§i2 复变函数5
xi cij y j
x1 c11 y1 c12 y2 c13 y3 x2 c21 y1 c22 y2 c23 y3 x3 c31 y1 c32 y2 c33 y3
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
§i1 张量4
偏导数的下标记法
缩写张量对坐标xi偏导数的表达式
欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件 确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断 其二阶变分d 2J大于0还是小于0。
§i3 变分法4
自然边界条件
如自变函数在边界的数值不能确定，则
d y( x1 ) 0,
d y( x2 ) 0
对于可变边界问题，首先必须满足边界不变 的极值条件。 为满足极值条件，欧拉方程仍旧必须满足。 边界变化的泛函极值问题
x1
F Fx2 xy ' y 1 1
x2
x2
F d F F y y ' dx y '
变分dy和dy’不是独立无关的，因此
x2
2 2 F F d F d F x2 d y ' dx＝ （d y )dx＝ d y x ( )d ydx 1 y ' y ' dx y ' dx y ' x1 x1 x1
ui , ik
e ij, kl
§i1 张量5
张量的偏导数集合仍然是张量
证明： ui，j如果作坐标变换
ui ',
j'
( ni 'k uk ),
k
j'
xl xl ( ni 'k uk , l ) ( ni 'k uk ), l x j ' x j ' l l k l k
如f（t）在区域S外，包括无穷远点处处解析， C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z 为包含在C内的任一点，
1 f (t ) dt f () 2πi c t z
附录3 变分法概要
泛函与泛函极值 欧拉方程
自然边界条件
泛函运算
§i3 变分法1
泛函和泛函的极值
泛函——其值倚赖于其它一个或者几个函数
d imam ai d imTmj Tij
§i1 张量8
置换符号eijk
1 eijk 1 0 i，j，k为1， 2， 3的偶排列 i，j，k为1， 2， 3的奇排列 有相等下标时
偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而 得到的排列 奇排列
e123 e231 e312 1
解析函数 w=u（x，y）+iv（x，y）
柯西－黎曼条件
u v , x y u v y x
2v 2v 0 2 2 x y
2u 2u 0 2 2 x y
解析函数的实部和虚部都是调和函数
§i2 复变函数3
•保角变换
变换——映射
通过函数w=f（z）将平面点的集合g转换为另 一个平面（w平面）点的集合G 。 解析函数w=f（z）在点zo所实现的变换 点zo处的所有线素皆按同一比例伸长 任意两个曲线之间的交角保持不变
x
x
在x=x1和x=x2时，dJ=0
F d F dJ [ ( )]d ydx y dx y ' x1
x2
§i3 变分法3
由于e在区间（x1，x2）是x的任意函数，所以上 式成立的必要条件为积分函数在区间（x1，x2） 内为零。
F d F ( )＝0 y dx y '