a 0) (1) ik
+
Hˆ 1ϕ(k0)
=
E( 0 ) k
'
ϕ(i
0
a) (1) ik
+
E ϕ (1) (0) kk
i
i
λ2
∑ ∑ ∑ ∑ Hˆ 0
'
ϕ(i
0
a) (2) ik
+
Hˆ 1
'
ϕ(i
0
a) (1) ik
=
E( 0 ) k
'
ϕ(i
a 0) ( 2) ik
+
E(1) k
'
ϕ(i
a 0) (1) ik
ϕ(0) k
的平均值。
例1：考虑一个粒子在位势
V(x)
=
⎧
⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
mω2 x 2 mω2a 2
⎩2
x ≤a x >a
∴
Hˆ
=
⎪⎪⎪⎨⎧ 2PPmxx22 ⎪⎩ 2m
+ +
1 2 1 2
mω2 x 2 mω2a 2
x ≤a x >a
= Hˆ 0 + Hˆ 1
Hˆ 0
=
1 2m
Px2
+
1 mω2x2 2
矩阵元展开）。
从E（k0），ϕ（k0）出发求 Ek ，ψk 。当 λ → 0 ，
即 Hˆ 1 → 0
ψk
→
ϕ(0) k
，
Ek
→
E( 0 ) k
，
非简并微扰论就是处理的那一条能级是非
简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不
影响处理的结果）。
我们可将
ψk
=
N(
ϕ
(0 k
)
+
λ
ϕ
(1) k
+
λ
2ϕ
(2) k
Hˆ 1
=
⎪⎧ ⎪⎩⎨−
1 2
0 mω2 (x
2
−
a
2
)
x ≤a x >a
E(1) n
=
n Hˆ 1 n
=
−
1 2
mω2
⋅
2∫a∞)u2ndx
准至一级修正的能量为
En
=
(n
+
1 2
)hω
−
mω2 ∫a∞ (x2
−
a2) un
2 dx
从这可以看到微扰论的应用限度。
如 En 准到一级，可以看出， En 完全是分
ϕ(0) k
以
（ ϕ ( 0 ) i
i
≠
k
）标积
E a (0) (1) i ik
+
ϕ(0) i
Hˆ 1
ϕ(0) k
=
E a (0) (1) k ik
a(1) ik
=
ϕ(0) i
Hˆ 1
ϕ(0) k
E( 0 ) k
−
E( 0 ) i
= (Hˆ 1 )ik
E( 0 ) k
−
E( 0 ) i
因此，在一级近似下
∫
dr1 ∫
−
e
2 a
(r1
+r2
)
r22
sin θ2dθ2dϕ2dr2 r12
以 r1 方向为 Z 方向 ,所以
θ2 = θ
1 r12
=
⎧1
⎪⎪ ⎨ ⎪
r1 1
⎪⎩ r2
∞
∑ Pl
l=0
(cos
θ)(
r2 r1
)l
∞
∑ Pl
l=0
(cos
θ)(
r1 r2
)l
r1 > r2 r1 < r2
∫ ∫ ∫ ∑ E(1) 0
Ek
=
E( 0 ) k
+
(Hˆ 1 )kk
=
ϕ(0) k
Hˆ 0
+ Hˆ 1
ϕ(0) k
∑ ψk
=
ϕ(0) k
+
ϕ(1) k
=
ϕ(0) k
+
i
'ϕ(i 0)
(Hˆ 1 )ik
E(0) k
−
E( 0 ) i
(归一化 N = 1 准至一级)
所以，在
E( 0 ) k
这条能级为非简并时，其能
量的一级修正恰等于微扰项 Hˆ 1在无微扰状态
该区域中.
事实上，由于
1 mω2x2 ≥ V(x) 2
由 H − F 定理可证得
εn
=
(n
+
1 )hω 2
>
En
例2．求氦原子的基态能量
Hˆ
=
−h2 2μ
(∇12
+
∇
2 2
)
−
2e′2 r1
−
2e′2 r2
+
e′2 r12
= Hˆ 0 + Hˆ 1
Hˆ 1
=
e′2 r12
=
(r12
+ r22
e′2 − 2r1r2 cos θ)1 2
设： Hˆ 0 的基态为 0
即
s,sz , r1, r2 0 = u100 (r1)u100 (r2 )χ00
=
1 πa3
e χ −
1 a
( r1
+r2
)
00
a
=
4πε0h2 m2e′2
E( 0 ) 0
=
−2
2e2 8πε0a
=
−2 e2 4πε0a
于是
E(1) 0
=
0 Hˆ 1 0
=
e′2 (πa3 )2
立能级。但事实上，当
E > 1 mω2a2 2
时，粒子是自由的。因此，能级是连续的，可
取任何值。所以，要一级修正比较精确，则必须
εn
<<
1 2
mω2a 2
即
(n + 1 )hω << 1 mω2a2
2
2
经典和量子的差别: 经典粒子不能运动到
x≥
2E mω2
区域中去。而在量子力学中，粒子有一定概率在
第八章 量子力学中的近似方法
在量子力学中，能精确求解的问题为数是有 限的，要么非常特殊，要么非常简单。我们在这 章中，介绍一些常用的近似处理方法。也就是 说，当将量子力学原理用于实际问题中，我们必 须进行一些近似处理，才能得到所要的结果，才 能将问题解决。
§8.1 定态微扰论
本节讨论的是 Hˆ 与 t 无关
+
E ϕ ( 2) (0) kk
i
i
i
i
A. 一级微扰近似
∑ ∑ Hˆ 0
'
ϕ
( i
0
a) (1) ik
+ Hˆ 1ϕ(k0)
=
E( 0 ) k
'
ϕ(i
a 0) (1) ik
+
E ϕ (1) (0) kk
i
i
以 ϕ(k0) 标积
∫ E(1) k
=
ϕ(k0)*Hˆ 1ϕ(k0)dr =
ϕ(0) k
Hˆ 1
设： Hˆ 0 的本征值和本征函数为 E（k0），ϕ（k0）
Hˆ 0ϕ（k0）=
E ϕ （0）（0） kk
ϕ（0） k
构成一正交，归一完备组。
现求解
即
Hˆ ψk = Ekψk
(Hˆ 0 + λHˆ 1)ψk = Ekψk
求 Ek ，ψk 的步骤是通过逐级逼近来求
精确解，即将Ek ，ψk 对 λ 展开（即对 λHˆ 1
+ L)
∑ ∑ = N(ϕ(k0) + λ
'
ϕ
( i
0
a) (1) ik
+
λ2
'
ϕ(i
a 0) ( 2) ik
+ L)
i
i
求和号上的撇表示求和不包括 ϕ(k0)态，即 ϕ(ki)
是与
ϕ(0) k
正交的
Ek
=
E(0) k
+ λE(k1)
+
λ
E2 ( 2) k
+L
其中 N 为归一化常数，它随准确到那一级而定
设：Hˆ = Hˆ (r, Pˆ )，要求其本征值和本征函数
Hˆ ψ = Eψ
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
其中 Hˆ 0很接近 Hˆ ，且有解析解。而 Hˆ 1是小量，
为易于表达其大小的量级，无妨令
Hˆ (λ) = Hˆ 0 + λHˆ 1 Hˆ (λ) ⎯λ⎯→⎯0→ Hˆ 0
（1）非简并能级的微扰论
代入上式得
(Hˆ 0
+
λHˆ 1 )(ϕ(k0)
+
λϕ
(1) k
+
λ
ϕ2 ( 2 k
)
+
L)
=
( E(k0 )
+
λ
E(1) k
+
λ
E2 ( 2 k
)
+ L)(ϕ(k0)
+
λϕ(k1)
+
λ
ϕ2 ( 2 k
)
+ L)
于是有
λ0
Hˆ 0ϕ(k0)
=
E ϕ (0) (0) kk
λ1
∑ ∑ Hˆ 0
'
ϕ(i