|
eB
2
(Jˆz
Sˆz )
|
nlsjm j
eB
2 mj
eB
2
nlsjm j
|
Sˆ z
|
nlsjm j
计算 nlsjmj | Sˆz | nlsjmj
需要将耦合表象基矢 | nlsjm j 按无耦合表象基矢展开 对于 l 0, j l 1/ 2 的情况，有
Sˆz | nlsjm j Sˆz
pˆ
q
2
(r
pˆ )
B
q
2
Lˆ
B
Mˆ L
B
式中轨道角动量和轨道磁矩分别为
Lˆ r pˆ ,
Mˆ L
q
2
Lˆ
§8.1-6 电子在电磁场中运动计入自旋 和相对论性修正后的哈密顿算符
电子自旋磁矩与外磁场的耦合项
Hˆ
S
B
Mˆ S
B
e
Sˆ
B
Thomas项,索末非项和达尔文项Hˆ S L, Hˆ K , Hˆ P
e2B2
8 a
e B 106 B
8
一般 B 10T 故逆磁项可略去
Hˆ
pˆ 2
2
Ze2
4 0 r
eB
2
( Lˆ z
2 Sˆ z
)
Hˆ 0
Hˆ L B
Hˆ S B
取力学量完全集为 Hˆ 0, Lˆ2, Lˆz , Sˆz 本征矢量为 | nlmsms
本征值方程
Hˆ
|
nlmsms
(Hˆ 0
Hˆ
L
B
Hˆ
SB
)
|
nlmsms
Enmms
|
nlmsms
其中
Hˆ 0
|
nlmsms
E(0) n
|
nlmsms
类氢原子能级
E(0) n
Z 2e2
40 2an2
(Hˆ L B
Hˆ S B
)
|
nlmsms
eB
2
( Lˆ z
2 Sˆ z
)|
nlmsms
eB
2 (m 2ms ) | nlmsms
Enmms
由选择定则得光谱线的频率为
拉摩频率
eB
nmms ,nmms
nn
m
4
nn
Lm
m 0,1
原来一条谱线分裂成三条.中间那条仍在原来位置,
左右两条与中间的频率差为 L
§8.2-4 弱场情况：反常塞曼效应
当磁场足够弱,轨道磁矩和自旋磁矩与磁场的耦合作
用项与自旋轨道耦合作用及相对论修正项相比很小,
Sˆ
Lˆ
pˆ 4
83c
2
1
4 0
Ze2 22c
2 2
(r
)
§8.2-2 强场情况：正常塞曼效应
当磁场足够强(B≈几个特斯拉)
自旋轨道耦合项等后三项和三、四项相比可略去。
因为磁矩与外磁场耦合项
eB
2
( Lˆ z
2 Sˆ z
)
eB
2 (m 2ms )
逆磁项
e2B2 (x2 y2)
8
e2B2
8 a
比值
第八章 粒子在电磁场中运动
§8.1 粒子在电磁场中的运动方程 §8.2 恒定均匀磁场中的原子
§8.1 粒子在电磁场中的运动方程
§8.1-1 粒子在电磁场中运动的哈密顿算符
质量为 ,带电量为 的q粒子在电磁场中的哈密顿函数为
H (v)2 q ( p qA)2 q A, 矢势，标势
2
2
p v qA 正则动量 用算符表示 p pˆ i
2
i
2
逆磁项,恒>0 (3)
动能项 静电势能项
轨道运动与外磁场 q A pˆ
耦合作用项
薛定谔方程
i (r , t) Hˆ (r , t)
t
设外加磁场是恒定均匀磁场
取矢势为： A 1 B r 可以验证 B A, A 0. 2
(3)式中 第三项为
Hˆ
L
B
q
A
pˆ
q
1 2
B
r
看成微扰项.
同样逆磁项略去.
Hˆ L B
Hˆ S B
eB
2
( Lˆ z
2 Sˆ z
)
(Hˆ SL
Hˆ K
Hˆ P
)
取:
Hˆ 0
pˆ 2
2
Ze2
4 0r
Hˆ SL
Hˆ K
Hˆ P
Hˆ Hˆ L B Hˆ S B
这里 Hˆ 对0 应的能级为(类)氢原子能级的精细结构,
Enj
En0
E (1) nj
1 c2
E(0) n
eB
2
(m 2ms )
能级发生分裂,对 m和 解m除s 简并， l 简并保留
这里 ms 1/ 2; m 0, 1, 2, , l; l 0,1, 2, , n 1; n 1, 2,
考虑光谱线的分裂
无磁场时光谱线:
定态 | nlm向 | 的nl跃m迁,其频率为
nn
|
E(0) n
E (0) n
|
/
h
一条谱线
有外磁场时光谱线: 此时能级分裂
对应于从定态 | nlmsm向s | n的lm跃s迁ms,其 频率为
nmms ,nmms
nn
eB (m
4
2ms )
电偶极辐射选择定则:
n n n 任意整数;l l l 1; m m m 0,1; ms ms ms 0.
2
(Z )2
n2
1
(Z )2
n2
j
n 1/ 2
3
4
使用非简并的定态微扰论计算体系的一级近似能量
因为自旋-轨道耦合项,使用耦合表象
相应的本征矢量为 | nlsjm j
所以能量的一级修正为:
E (1) nljm j
nlsjm j
|
eB
2
(
Lˆ z
2Sˆz ) | nlsjm j
nlsjm j
2 2c2r 3
Sˆ
Lˆ
pˆ 4
8 3c 2
1
4 0
Ze2 2 2 2c2
(r)
设磁场沿Z轴方向 B (0,0, B)
当 A 1 B r 有 A ( 1 By, 1 Bx,0)
2
22
则
Hˆ
pˆ 2
2
Ze2
4 0 r
eB
2
( Lˆ z
2 Sˆ z
)
e2B2
8
(x2
y2)
1
4 0
Ze2
2 2c2r 3
l
mj 2l 1
1 2
| nl(m j
1) 1 22
1 2
Hˆ
pˆ 2
2
e
e
A
pˆ
e2 A2
2
Hˆ
S
B
Hˆ
S
L
Hˆ
K
Hˆ
P
薛定谔方程
i
t
(r
,பைடு நூலகம்
sz
,t)
Hˆ (r
,
sz ,t)
§8.2 恒定均匀磁场中的原子
§8.2-1 体系的哈密顿算符(类氢原子）
静电势能为 e Ze2 4 0r
则
Hˆ
pˆ 2
2
e
e
A
pˆ
e2 A2
2
Hˆ S B
Hˆ S L
Hˆ K
电场强度 磁感应强度
E A
t B A
电磁场中带电粒子的哈密顿算符为
Hˆ ( pˆ qA)2 q 2
pˆ 2 q q A pˆ q pˆ A q2 A2
2
2
2
2
利用库仑规范 A 0 即 [A , pˆ ] A pˆ pˆ A 0
则 Hˆ 2 2 q q A q2 A2
Hˆ P
pˆ 2
2
Ze2
4 0 r
e
A
pˆ
e2 A2
2
e
Sˆ
B
1
4 0
Ze2
2 2c2r 3
Sˆ
Lˆ
pˆ 4
83c2
1
4 0
Ze2 2 2 2c2
(r)
恒定均匀磁场
取
1 A Br
2
有 Hˆ pˆ 2 Ze2 e Lˆ B e2 A2 e Sˆ B
2 40r 2
2
1
4 0
Ze2