~
~
A
A
A Adw
M EI dx C
A A
~
x C
|
x C
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§6.3 用积分法求弯曲变形
刚度条件
限制最大挠度和最大转角(或特定截面的挠度和 转角)不超过某一规定数值，即满足刚度条件：
w max w max
式中 w 和 为规定的许可挠度和转角。
C 0 D 0
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例1
转角方程和挠曲线方程分别为
F 2 EIw x Flx 2
F 3 Fl 2 EIw x x 6 2
以截面B处的坐标x=l代入以上两式，得到截面B 的转角和挠度分别为:
Fl Fl (顺时针) wB B wB 2EI 3EI
(6.2)
挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量，同时规定： 在图6.4中，向上的挠度和反时针的转角为正(+)。
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§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。

(q) (r)
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
5). 最大转角 在(o)式中令x1=0, 在(q)式中令x2=l, 得梁 在A, B两端的截面转角分别为：
A
Fab l b 6 EIl
B
Fab l a 6 EIl
当a>b时， B 为最大转角。
得： C
q
B
ql , D0 24
3
A
梁的转角方程和挠曲线 方程分别为：
x
y
θA
θB
x
l
q (6lx 2 4 x3 l 3 ) 24 EI
qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例2
最大转角和最大挠度分别为：
q
max
利用弯曲变形
N
叠板弹簧应有较大的变形， 才能达到缓冲减振的作用。
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§6.2 挠曲线的微分方程
挠曲线：在对称弯曲情况
下，变形后梁的轴线将成为 xy平面(梁的纵向对称面)内 的一条曲线，称为挠曲线。
挠度：在挠曲线上横坐标为x
的任意点的纵坐标，用w表示， 它代表x处的横截面的形心沿y 方向的位移，称为挠度。
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
1 Fbl Fbl wmax 0.0642 EI 9 3 EI 2 Fb Fbl 2 w |l 3l 0.0625 48 EI EI 2
2 2
比较上述结果可知，如用跨度中点的挠度来代 替最大挠度，其最大误差仅为2.65%。
因此，在简支梁中，不论受什么荷载作用，只 要挠曲线上无拐点，最大挠度值都可用跨度中点的 挠度来代替，其精度能够满足工程计算的要求。 --参见表6.1 No:9
D 将 C1 C2 , D1 0 代入上式得： 1 D2 0
将 D2 0 代入式(m)得：
Fb 2 2 C1 C 2 (l b ) 6l
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
4). 将求得的四个常数代回(i)、(j)、(k)、(l)等四 式，得转角方程和挠曲线方程：
EIw1 M 1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2 M 2
Fb x2 F ( x2 a ) l
2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a C Fb F (i) EIw2 2 l 2 2
2 x2
3
(k)
3 3 Fb x1 x2 a C x D (l) Fb x2 EIw1 C1 x1 D1 (j) EIw2 F 2 2 2 l 6 l 6 6
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3 3). 确定四个积分常数
上述(i)、(j)、(k)、(l)四式中包含四个积分常数，必须 有四个条件求解，分别叙述如下：
边界条件
D 当 x1 0, w1 0代入式j得： 1 0
当 x2 l , w2 0代入式l得：
Fbl 2 F ( l a )3 C 2l D2 0 6 6
挠曲线的方程式可写成：
w f x
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§6.2 挠曲线的微分方程
截面转角：弯曲变形中，梁
的横截面相对原来位置转过 的角度θ，称为截面转角。
它等于y轴与挠曲线法线的夹 角(平面假设)。也等于x轴与 挠曲线切线的夹角，即挠曲 线的倾角。
dw tan dx
dw arctan dx
(m)
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
连续性条件
w 当 x1 x2 a 时， 1 w2 代入(i)、(k) ,并令两式相等，得：
C1 C2
w 当 x1 x2 a 时， 1 w2 代入(j)、(l)，并令两式相等，得：
C1a D1 C2a D2
其中，C，D为积分常数。
如何确定C、D？
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§6.3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D的确定
1). 边界条件
A
~
A
~
dx
wA 0 A 0
wA 0
M w dx dx Cx D EI
2). 连续性条件
F
A
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
l
2
b
2

3
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为：
wmax Fb 9 3 EIl 1
F
l
2
b
2

3
梁跨度中点的挠度为：
Fb 2 2 w| l (3l 4b ) x 48 EI 2
现在来讨论跨度中点挠度和最大挠度之间的误差。显然，当 F作用点移至跨度中点时，最大挠度就是跨度中点的挠度，其误 差为零。F作用点越靠近支座B，两者的误差就越大。现考虑误 差最大时，即F作用点无限接近支座B，上面式中b→0。b2为高阶 小量，可忽略不计，两式为：
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3 8). 思考—积分法有何优缺点？
优点
可以求得转角和挠度的普遍方程！
缺点
如果梁上载荷复杂，写出弯矩方程时分段 愈多，积分常数也愈多，特别是当只需确定某 些特定截面的转角和挠度，而不需求出转角和 挠度的普遍方程时，积分法显得过于累赘！
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§6.4 用叠加法求弯曲变形
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
6). 最大挠度
最大挠度发生在 0 处，先看AC段的转角方程，将 x1 0,
Fbl b2 Fab x1 a分别代入式(o)可得：A (1 2 ), C ( a b) 和 6 EI 3 EIl l 由于 A 0,C 0, A截面和C截面之间转角由负变正，所以AC
第六章 弯曲变形
§6.1 工程中的弯曲变形问题
§6.2 挠曲线的微分方程
§6.3 用积分法求弯曲变形
§6.4 用叠加法求弯曲变形
§6.5 简单超静定梁
§6.6 提高弯曲刚度的一些措施
§6.1 工程中的弯曲变形问题
限制弯曲变形
工程中某些受弯杆件除需满 足强度要求外，还要满足刚 度要求，变形不能过大。
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
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§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
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§6.1 工程中的弯曲变形问题
—见表6.1（No:2）
2
3
(向下)
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例2
实例2：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在 均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax和wmax。
q
A
x
y l
B x
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例2
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例1 例 6.1： 图示为B端作用集中力F的悬臂梁，
求其挠曲线方程。
y x
A
F
max
x
B w max
l
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§6.3 用积分法求弯曲变形—实例1
y x
A
F
max
x
B w max
Hale Waihona Puke l解：建立如图所示的坐标系
x处的弯矩方程为： M ( x) F (l x)
段内必有一个截面的转角为零。故梁的最大挠度必在AC段内。 以 x1 x0 代入式(o)并令其为零：
Fb 2 (3 x0 l 2 b 2 ) 0，解得： x0 6 EIl
将 x0
l 2 b2 3
1 Fb l 2 b2 代入式(p)可得： wmax 3 9 3 EIl
AC段 (0 x1 a )