t t t 2 dxdydzd 2 dxdydzd 2 dxdydzd x y z
材料成型传输原理－－热量传输
内热源发热量＝ qv dxdydzd 式中， v 内热源发热率（w/㎡），表示每单位体积微元体单位 q q 时间发出的热量，如为吸热, 则 qv＜0， v 可以是坐标、时间的 函数。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3 MPa～2.0*103 MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。 分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）


材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qx dx
qx qx dx x
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy q y
q y y
dy
q z dz
q z qz dz z
材料成型传输原理－－热量传输
导出总热量 Qx dx Q y dy Qz dz
材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o ( 1 t )
式中：
( W m1 K 1 )
为温度为t℃的导热系数；
o为温度为0℃的导热系数；
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
4.保温材料： 国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
（2）液体的热导率随压力p的升高而增大
p
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
第二节 导热微分方程及单值条件
一、 导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质。
材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者）

金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T

— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
q x dx dydzd q y dy dxdzd q z dz dydxd q q x q q y y dy dxdzd q z z dz dydxd qx dx dydzd x y z t t t dydzd dxdzd dydxd x y z

微元体热焓的变化（质量为mkg）： t (mcdt dxdydzc d )
t dxdydzd 热蓄集＝ C

d 时间内微元体中热力学能的增量。
材料成型传输原理－－热量传输
导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积
t t 2 t 2t 2 t 2t 2 2t qv t q ; or a a( 2 2 2 ) 2 2 x 2 x y y zz C c
•反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）
之间的关系。 •其值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该 热量能在整个物体中很快扩散。 •热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一 致的能力。 •在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别 越小。
4.液体导热――气体导热机制＋非导电固体导电机制。
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动
（1）大多数液体（分子量M不变）： T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度 下，热导率随温度的变化规律不一样。
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程 3 ：气体的密度； cv ：气体的定容比热

u ：气体分子运动的均方根速度
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减 小、而两者的乘积保持不变。
材料成型传输原理－－热量传输

导热微分方程
a
qv t 2 a t c
— 热扩散率（导温系数） [ m2 s ] c
2 — 拉普拉斯算子
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二、导温系数（热扩散率）
(1)物理意义――综合反映导热能力和蓄热能力。a大则导热能 力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均 匀化；反之则反。
t t t 一维导热： qx ; q y ; qz x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
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有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层 塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料 各向异性材料中：
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
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金属的加工过程也会造成晶格的缺陷



合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T

与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
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3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果
x r cos ; y r sin ; z z
1 t 1 2t 2t qv a r r (r r ) r 2 2 z 2 C
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（2）球坐标系 （r, ，）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
材料成型传输原理－－热量传输
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程

极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。

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五、导热微分方程的定解条件
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决 实际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。 微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得 特定解。

非金属的导热：依靠晶格的振动传Байду номын сангаас热量；比较小 建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m C)
T

与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构

多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
Qx
Qx+dx
Qy+dy Qz
Q qAd
导入总热量 Q x Q y Q z q x dydzd q y dxdzd q z dydxd
t t t dydzd dxdzd dydxd x y z
材料成型传输原理－－热量传输
W (m C) — 物质的重要热物性参数
1.热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、 通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。（实验 测定） 2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处 的温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t
:
（Thermal conductivity）
[ W m2 ]
热导率（导热系数） W (m C)
材料成型传输原理－－热量传输
t t t 直角坐标系中：q qx i q y j qz k i j k x y z
t t t qx xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t qz zx zy zz x y z
材料成型传输原理－－热量传输
二、导热系数
q -grad t
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 t t 1 t 1 2t a 2 r r (r r ) r 2 sin (sin ) r 2 sin 2 qv C
2t 2t 稳态导热&无内无热源&二维： 2 2 0 x y
d 2t 稳态导热&无内无热源&一维： 2 0 x
材料成型传输原理－－热量传输
四、非直角坐标系的导热微分方程
（1）圆柱坐标系 （r, , z）
t qr r 1 t q r t q z z
(2) 热导率、比热容和密度均为已知。
(3) 物体内具有内热源：内热源均匀分布；qv表 示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量[W/m3]。
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
据付立叶定律：
t t t q x ; q y ; q z x y z
材料成型传输原理－－热量传输
第二章
导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程
第三章 稳态导热分析